换元法 - 初中数学 - 困难

1 . 计算
=_____________.

2 . 若，求代数式的最大值．

3 . 已知实数满足
(1)求所有满足条件的实数的值；
(2)若实数满足，且，求实数的取值范围．

4 . 数学课上，老师准备了三种纸片，如图1中边长分别为a、b的正方形纸片A、B，以及长为b、宽为a的长方形纸片C，观察图形并解答下列问题：

(1)小玲想用图1的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要A纸片             张，B纸片             张，C纸片             张（空格处填写数字）
(2)①观察图2，请写出下列三个代数式，，之间的等量关系：_______________.
②根据①中的关系，若x满足，则的值为             ．
(3)已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是8，分别以为边作正方形，求阴影部分的面积．

5 . 已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，，，直线与x轴相交于点C，与直线AB交于点D，交y轴于点E．

(1)求直线AB的解析式及点D的坐标；
(2)如图2，H是直线AB上位于第一象限内的一点，连接HC，当时，点M、N为y轴上两动点，点M在点N的上方，且，连接HM、NC，求的最小值；
(3)将绕平面内某点转90°，旋转后的三角形记为，若点落在直线AB上，点落在直线CD上，请直接写出满足条件的点的坐标．

7 . 定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
(1)写出一元二次方程的“友好方程”______．
(2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为、______．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为________；并证明你的猜想．
(3)已知关于x的方程的两根，请结合（2）中的结论，求出关于x的方程的两根．

8 . 对于一个四位自然数M，如果M满足各个数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去百位数字之差等于十位数字减去个位数字之差，那么称这个数M为“均衡数”．对于一个“均衡数”M，将它的前两位数减去后两位数所得记为s，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t，定：F（M）＝，例如：M＝9764，因为9﹣7＝6﹣4，故：9764是一个“均衡数”，所以：s＝97﹣64＝33，t＝96﹣74＝22，则：F（9764）＝＝5．
（1）求出F（8541）和F（1234）的值；
（2）若自然数P，Q都是“均衡数”，其中P＝1000x+10y﹣515，Q＝100m+n+2041（2≤x≤9，2≤y≤9，1≤m≤9，0≤n≤8，x，y，m，n都是整数），规定： ，当F（P）﹣2F（Q）＝8时，求k的最大值．

9 . 阅读材料：对于非零实数，若关于的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于的方程的解为．
(1)理解应用：方程的解为：_____，_____；
(2)知识迁移：①若关于的方程的解为，求的值；
②解分式方程：
(3)拓展提升：若关于的方程的解为，求的值．

10 . 已知抛物线y＝ax²＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）
（1）若抛物线的对称轴为x＝3，若抛物线与x轴的两个交点的横坐标比为1：2，求这两个交点的坐标；
（2）抛物线的顶点为点C，抛物线与x轴交点分别为A、B，若△ABC为等边三角形，求证：b²—4ac＝12；
（3）若当x＞—1时，y随x的增大而增大，且抛物线与直线y＝ax—＋c相切于点D，若OD≥2恒成立，求c的取值范围．

1 . 项目式学习：校园数学文化节徽章与图腾设计
【项目背景】
为迎接校园数学文化节，社团计划设计一款专属的数学徽章．徽章的正面为几何图腾，背面刻有解锁密码．请你参与该项目，完成以下核心设计任务：

【项目任务】
请结合所学知识，仿照范例中巧用整体代换的方法，完成以下两项任务，范例：若满足，求的值．
解：设，
则，
所以．
任务一：破译徽章密码
徽章背面刻有激活密码，密码的值需通过代数恒等式计算得出．若满足，则的值为______．
任务二：测算图腾面积
徽章正面的图腾由几何图形构成：已知正方形的边长为，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积为______．