换元法 - 初中数学 - 适中

1 . 若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ）

A．

B．

C．

D．

2 . 整体法解方程：．

3 . 阅读下列材料：
材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且则可以把因式分解成，这种方法称为“十字相乘法”．
如：（1）；
（2）．
材料2：因式分解：．
解：将“看成一个整体，令，则原式，再将“”还原得：原式
上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．
【迁移运用】
(1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式：
①________                                          
②________
(2)结合材料1和材料2，对下面小题进行因式分解：
①；                       
②．

4 . 用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程是_________．

5 . 已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为__________．

6 . “换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 如图，直线与直线交于点，则方程组的解是（     ）

   

A．

B．

C．

D．

8 . 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，则不等式的解集是_______．

9 . 阅读与应用
计算时，若把与分别各看成一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下：
解：设为，为，
则原式．请用上面方法计算：
(1)；
(2)．

10 . 若n满足关系式，则代数式
的值是 ______．

1 . 阅读材料：
分解因式．
观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体设定新变量：．进行换元：将t代入原代数式，则原代数式变为，进一步化简得到．先对代数式进行因式分解：
①竖分二次项与常数项：，

②交叉相乘，验中间项：

③横向写出两因式，得到．
以上对代数式进行因式分解的过程叫十字相乘法，其要领可简称为“竖乘得首尾，叉乘凑中项”．
将代回原式得，进一步因式分解，得到．
上述因式分解用到了“换元法”和“十字相乘法”．请同学们根据阅读材料提供的解决问题的思想与方法以及平时所积累的学习经验，对以下式子进行因式分解：
(1)；
(2)．

2 . 如果，且，则的值为______．

3 . 若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________．

4 . 阅读理解，并根据所得规律答题解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如，我们分析，，可以采用“换元法”来解：设，，原方程组转化为，解得，∴，，由倒数定义得，原方程组的解为．
(1)直接写出满足方程的一个解______；
(2)解方程组．

5 . 我们规定：如果两个一元一次方程的解之和为，我们称这两个方程为“仁爱”方程，例如： 方程和为“仁爱”方程．
(1)方程和                   “仁爱”方程；（填“是”或“不是”）
(2)关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， 求的值；
(3)关于的一元一次方程 和 是“仁爱”方程，求关于的一元一次方程 的解．

6 . 对于方程组，不妨设，，则原方程组变为以、为未知数的方程组，解得，从而原方程组的解是，这种解题的方法称为换元法．

7 . 如图1所示是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．

(1)观察图2请你写出，，之间的等量关系是_______________________；
(2)根据（1）中的结论，若，，则_________________；
(3)拓展应用：若，求的值．

8 . 若实数，，满足，求的值．

9 . [阅读材料]
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“A”还原，原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
[问题解决]
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．

10 . 阅读下列材料：
解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为…①，
解这个方程得：．
当时，．∴；
当时，，∴
所以原方程有四个根： ．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)解方程时，若设，则原方程可转化为        ；并求出x
(2)利用换元法解方程：．

1 . 已知关于的方程组的解是 ，则关于的方程组的解是___________．

2 . 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设．
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）．
解答下列问题．
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的________．
A．提公因式法       B．公式法
(2)请你模仿以上方法，对多项式进行因式分解．

3 . 换元法是一种重要的转化方法，如：解方程，设，原方程转化为．已知m，n是实数，满足，则n的取值范围是（       ）

A．n≤0

B．n≥4

C．n≥2

D．n≥3

4 . 已知关于x的一元一次方程＋5＝2019x＋m的解为x＝2021，那么关于y的一元一次方程 ＋5＝2019（5﹣y）＋m的解为___．

5 . 阅读下面解方程的途径．

解方程

方程的解是，→

(1)按照上述途径，填写下面的空格．

解方程

方程的解是，→

(2)已知关于x的方程的解是或（a、b、c均为常数），求关于x的方程（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）．

6 . 若(2022－a)(2021－a)＝2020，则(2022－a)²＋(2021－a)²＝____________．

7 . 若关于m的方程的解为，则关于x的方程的解是（       ）

A．

B．

C．，

D．，

8 . 已知，则____________．

9 . 阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题．
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代的它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设，，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为．运用以上知识解决下列问题：
(1)解方程组；
(2)关于x，y的二元一次方程组解为，则方程组的解为           ．

10 . 阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“”看成一个整体，令，则原式再将“”还原即可．
解：设．
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）．
问题：（1）①该同学因式分解的结果不正确，请直接写出正确的结果______；
②根据材料1，请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解；
（2）根据材料1，请你模仿以上方法尝试计算：
．

1 . 若关于x，y的方程组的解为，则关于m，n的方程组的解为_______．

2 . 若关于x的一元二次方程ax²+bx﹣1＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x﹣1）²+b（x﹣1）＝1必有一根为（　　）

A．

B．2020

C．2019

D．2018

3 . 阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则，“整体思想”是中学教学课题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
(1)尝试应用：把看成一个整体，合并的结果是______．
(2)已知，求的值．
(3)拓展探索：已知，，，求的值．

4 . 计算：
(1)；
(2)；
(3)．

5 . 阅读下面解方程的过程：
解方程．
设，则原方程可化为①，解得，．
当时，，解得；当时，，解得．
故原方程的解为，，，．
由方程得到①的过程，利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
解答下列问题：
（1）利用换元法解方程：；
（2）三边是，，，若两直角边，满足，斜边，求的面积．

6 . 关于x的方程．
(1)已知a，c异号，试说明此方程根的情况．
(2)若该方程的根是，，试求方程的根．

7 . 解方程，若设，则原方程可化为关于y的整式方程是 __

8 .

9 . 阅读下列材料：
若满足，求的值．
设，，则，，
所以．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若满足，求的值；
(2)如图，已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是，分别以，为边作正方形．

(3)

______，______；（用含的式子表示）
求阴影部分的面积．

10 . 已知关于x的一元二次方程的解为，那么关于y的一元二次方程的解为________．