将军饮马 - 初中数学 - 困难

1 . 如图，在中，，，以为斜边在上方作等腰直角三角形．

(1)如图1，若，，求的长度；
(2)如图2，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，延长交于点，连接．点，分别是，的中点，连接，．求证：；
(3)如图3，，，点在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点在直线上，连接，，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接．当取得最小值时，连接，，请直接写出面积的最大值．

2 . 已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．
(1)若，
①求点P的坐标；
②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标；
(2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标．

3 . 如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，且满足．当________时，为等边三角形；已知点为的中点，连接，，则的最小值为________．

4 . 在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______．

5 . 如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为________．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点，直线与直线交于点，与轴交于点，且．

(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点为直线上一点，点，是直线上的动点，且，求的最小值，并求出此时点的坐标；
(3)如图2，过点作交轴于点，点为直线上一点，满足，点是平面直角坐标系内一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．

7 . 综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小．
小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长．

如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可．
(1)请完成图3中小明的证明；
(2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________；
(3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度．

8 . 如图1，已知直线l：交x，y轴于点 ， 两点，正比例函数的图象与直线 交于点．

(1)求直线的解析式和点C的坐标；
(2)y轴负半轴上有一动点E，连接．点F是x轴上有一动点，当时，求的最小值；
(3)如图2，将直线l向下平移7个单位长度，平移后的直线与y轴交于点G，与直线交于点M，点P在x轴上．当时，请直接写出点P的坐标．

9 . 如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）

   

A．

B．

C．

D．

10 . 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P是x轴上的一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，，求的最小值．

1 . 已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，.

(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图1，求证：；
(3)如图2，在（1）的条件下，，点F在线段BC，且，点，分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值：若不存在，写出你的理由.

2 . 如图，等边三角形中，，D为的中点，连接，点E是线段上的动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则的最小值为_______．

3 . 如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则______________，的最小值为______________．

4 . 如图，边长为b的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______．

5 . 如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）

   

A．

B．2

C．2

D．3

6 . 如图，中，，，，点D，E分别是线段，上的动点，当最小时，的长是______．

7 . 已知：如图，中，，，，点为边的中点，点为边上一点，连接、，则周长的最小值是______．

   

8 . 如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于、两点，、分别是，上的动点，则周长的最小值是________．

9 . 如图，在等腰中，，，将沿直线平移至，将点B绕点A逆时针旋转得到点D，连接、，在平移过程中，的最大值为__________．

10 . 已知抛物线（，，为常数，）与轴相交于，两点（点在点的左侧），抛物线顶点为，对称轴与轴交点为，对称轴上有，两点，点在轴上方．
(1)若，，，求该抛物线顶点的坐标；
(2)若，，当点与点重合时，且四边形为正方形时，求的值；
(3)若，四边形为菱形，在线段上有动点，抛物线上有点，使得四边形为平行四边形，当时，的最小值取得，求此时点的坐标和的值．

1 . 如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________．

2 . 已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是__________．

3 . 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（     ）

A．

B．

C．

D．

4 . （1）【问题解决】已知点在内，过点分别作关于、的对称点、.

①如图1，若，请直接写出______；
②如图2，连接分别交、于、，若，求的度数；
③在②的条件下，若度（），请直接写出______度（用含的代数式表示）.
（2）【拓展延伸】利用“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解答问题：如图3，在中，，点是内部一定点，，点、分别在边、上，请你在图3中画出使周长最小的点、的位置（不写画法），并直接写出周长的最小值.

5 . 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，与轴交于点，连接，若．

(1)求抛物线的解析式；
(2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过作于点，是轴上两个动点，点在点的上方，且．当取得最大值时，求的最小值：
(3)将该抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位长度得到的新抛物线，为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点的横坐标．

6 . 【问题探究】
（1）如图 1，在 中， 为 的中点，连接 ，则 与 的位置关系是_____．

       （2）如图 2，在 中， ， ， 是线段 上一动点(不与 、 重合)，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，点 和点 分别是边 的中点． 试探究 和 的数量关系，并说明理由．

【问题解决】
（3）如图 3，正方形 是一块蔬菜种植基地，边长为 3 千米，对角线 为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路 上确定一点 (不与点 重合)，连接 ，以线段 为斜边，在 右侧建等腰直角 区域( )，用来种植新品有机蔬菜，并在 处设立蔬菜仓库． 点和 点为基地的两个蔬菜打包装运点， 在 上且 ． 现要沿 修建蔬菜运输轨道，请确定运输轨道 的最小值． 并求出当 最小时，有机蔬菜种植区域的面积 (即 的面积)．

       

7 . （1）如图①，在矩形中，，，以为圆心，为半径在矩形内画弧，已知点是该弧上的一动点，点是边上的动点，则的最小值为______．
（2）随着社会发展，人们生活品质日益提升，年轻人对高品质生活的追求愈发强烈．“荒野求生”、“生存大挑战”等栏目在网络上火爆，野外探险成为当下很多人想寻求刺激、提升生活品质的热门选择，图②是一片探险区域，其中四边形是探险途中的必经区域，米，米，，，且，点是探险入口，边界上点是探险出口，其中，点方圆米的圆形区域是危险禁区，严禁探险者进入为了保证探险者的安全，在危险区域边界上设有一个可移动监测点，一旦探险者靠近并跨入危险区，便会触发警报，一支探险小队计划进入此区域探险，为确保队员统一行动、节省体力并高效前行，领队需提前确定两个集结点和点，其中点在探险区域内，且满足，，点在边界上，探险路线是，请帮助领队计算的最小值．

8 . 如图，在菱形中，，点E为射线上的动点，点F为射线DC上的动点，且，连接、，若菱形的面积为，则的最小值为_____．

9 . 如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，AD＝，点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________

10 . 问题提出
（1）如图①，在中，，则点A到的最大距离为_______；

问题探究
（2）如图②，在矩形中，，E是上一动点，连接，求，的最小值；
问题解决
（3）如图③，矩形的四边是某市产业新区的外环路，分别是四条贯穿路．已知，I、J分别是线段上一点，连接．现计划在三角形区域处修建一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值：若不存在，请说明理由．（结果保留根号）

1 . 如图，在平面直角坐标系中，拋物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，，．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是射线上方抛物线．上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D．点M是线段．上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，．
①求线段长度的最大值
②当线段长度取最大值时，求的最小值；
③将该抛物线沿射线方向平移，使得新地物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当时，接写出所有符合条件的点Q的坐标．

2 . 如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（     ）

A．

B．

C．

D．

3 . 在中，，在中，，，连接．

       

(1)如图1，若点在延长线上，连接，且，求的长；
(2)如图2，若点在上，为的中点，连接、，当，时，求证：；
(3)如图3，若点在线段上运动，取的中点，作交于，连接并延长到，使得，连接、；在线段上取一点，使得，并连接；若点在线段上运动的过程中，当的周长取得最小值时，的面积为，请直接写出的值．

4 . 在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2

(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．

5 . 如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点．

(1)分别求出的坐标；
(2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．

6 . 等腰中，，点是轴上一个动点，点在轴上且点．

(1)若时，
①如图1，求的长；
②如图1，求点的坐标；
③如图2，点在直线上且位于第一象限内，当时，求的面积；
(2)如图3，移动点，连接，直接写出的周长的最小值．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线交于点，过点作的垂线交于点，点为抛物线上一定点且横坐标为，过点作轴的平行线，在此平行线上有一动点，在轴上有一动点，当最大时，求点的坐标及的最小值；
(3)将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，平移后仍过点，且与轴的另一交点为点，在上有一动点，连接．设直线与直线形成的夹角为，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．

8 . 如图，在矩形纸片中，点，分别是边，上的点，连接，将四边形沿折叠，点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接．若，，则的最小值是_____．

9 . 如图，在菱形中，，，M为对角线上一动点，N为菱形外一点，且，，连接，，则的最小值为_____________．

10 . 如图，点、分别是轴、轴正半轴上的动点，且，将线段绕点逆时针旋转至，若、，连接，则的最小值是__________．

1 . 如图，正方形的边长为2，动点从点出发，沿折线的方向运动，同时动点以相同的速度沿折线的方向运动，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动，连接交于点．点是边上的另一动点，连接和，则的最小值为（     ）

A．

B．

C．

D．

2 . 如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（       ）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

3 . （1）问题背景如图（1），在中，是角平分线．求证：；
（2）在中，，，是角平分线，，．
①应用探究如图（2），若，求证：；
②迁移拓展如图（3），P为线段上一点，绕C点逆时针旋转得到，使，连接，当最小时，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．

4 . 如图，正方形的边长为4，点E是的中点，，点P为对角线 上一动点，则的最小值是________．

5 . 以为斜边在它的同侧作和，其中，，、交于点．

       

(1)如图1，平分，求证：；
(2)如图2，过点A作，分别交、于点、点，连接，过A作，交于点，连接，交于点，求证：；
(3)如图3，点为边的中点，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接、，当，最小时，请直接写出的度数．

6 . 如图，二次函数的图像与x轴交于两点，与y轴交于点C．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，直线是过点且平行于y轴的直线，在直线上是否存在点Q？使得的长度最短．若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P为二次函数图像上的一个动点，且．求P点的坐标．

7 . 如图1，直线：分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点

(1) 求直线的关系式；
(2)在直线上是否存在点D，使得？若存在，求出点D坐标：若不存请说明理由；
(3)如图2，，P为x轴正半轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接，．请直接写出的最大值：________．

8 . 如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（       ）

A．5

B．6

C．7

D．8

9 . 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为________．

10 . 如图，在中，，，，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得，以EC、EF为邻边构造，连接EG，则EG的最小值为________．

1 . 如图，在中，，的面积为12，的垂直平分线交于点F，若D为边的中点，M为线段上的一动点，则周长的最小值为_______．

   

2 . 如图，正方形中，点是边上一定点，点、、分别是边、、上的动点，若，则四边形的周长最小时______．

   

3 . 已知抛物线（为常数，）与轴相交于，两点（点在点左侧），点为抛物线与轴的交点，为抛物线的顶点，且．直线上两点和，其中，，的面积记为．
(1)当，时．
①直接写出点，点，点的坐标；
②若，求；
(2)若点的坐标为，且．
①直接写出的值和抛物线解析式；
②当取最小值时，直接写出的最小值和点的坐标．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的动点，线段绕点按逆时针方向旋转至线段，点是轴上的动点，连接，则的最小值是______．

5 . 几何模型：
条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使的值最小，
方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小．
直接应用：
（1）如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为           ．

   

变式练习：
（2）如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值．

   

深化拓展：
（3）如图4，在锐角△ABC中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值．

   

6 . 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S_△PAB=S_矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为______．

7 . 综合探究：“在中，、、三边的长分别为，求这个三角形的面积．”
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不用求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．

(1)直接写出图1中的面积是________；
(2)若的边长分别为（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积．
(3)拓展应用：求代数式（）的最小值．

8 . 问题探究

(1)如图1，在四边形中，，，若，则的长为______；
(2)如图2，在等腰中，，，点D是的中点，点E、F分别为边、上的动点，连接、、、，若，求周长的最小值；
问题解决
(3)2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，各地积极探索为居民健康减“负”．为了提高全民健身环境，某地欲建一个形如五边形的健身中心，如图3，，，米，米，米，是一条走廊，将四边形规划为力量训练区，区域规划为有氧器械区，在上确定点P、Q（点P在点Q左侧），且满足米，沿线段、、摆放某种小型健身器材，请计算的最小值．

9 . 如图1，直线分别与轴交于两点，过点的直线交轴负半轴于点．

(1)请直接写出直线的关系式：_________
(2)在直线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标：若不存请说明理由；
(3)如图2，，为轴正半轴上的一动点，以为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接．请直接写出的最大值：___________．

10 . （1）如图1，点C在线段上，，，，求证：为等腰直角三角形；

（2）如图2，，，以为斜边作等腰直角，求点Q的坐标；
（3）在第（2）问的前提下，过点Q作y轴垂线l，在l上取一点P，直接写出的最小值         ．

1 . 如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．
   

2 . 如图1：正方形的边长为3，E是直线上一动点，连接，在的右侧以C为直角顶点作等腰直角三角形，连接，．

(1)当点E在线段上运动时，试判断与的数量关系，并说明理由．
(2)当时，求的长．
(3)如图2，连接，则的最小值为______．

3 . 如图，在矩形中，，，点G在边上，P为边上动点，线段垂直平分交于E，且．现给出以下四个结论：①；②；③；④的最小值为；其中正确有__________（写出所有正确结论的序号）．

4 . 【思路点拨】：如图1，点是点关于直线的对称点，分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，．可以利用轴对称图形的性质证明，从而由点的坐标可求点的坐标．
【应用拓展】：如图2，若点横坐标为，且在函数的图象上．

   

(1)求点关于直线的对称点的坐标．
(2)若点的坐标为，点是直线．上的任意一点，连结，，求的最小值．

5 . 如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是____________．

6 . 问题探究
（1）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的动点．当取得最小值时，的值是          ；
（2）如图，在中，，，，点为边的中点，过点作于点，求的长；
问题解决
（3）如图，四边形的四边是某市产业新区的外环路，已知，，，，是其中的一条贯穿路，点、分别是线段、上的动点，且满足，分别过点、作，，垂足分别为、，连接、，现计划将区域修建成一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能的小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

7 . 已知抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），与轴相交于点C，点，．

(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若点是第二象限内抛物线上一动点，过点作线段轴，交直线于点，当线段取得最大值时，求此时点的坐标．
(3)若取线段的中点，向右沿轴水平方向平移线段，得到线段，当取得最小值时，求此时点的坐标

8 . 如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，在上方作等腰直角三角形，．当点，之间的距离最小时，的面积为__________．

9 . 在中，，，，点D是边上的动点．连接，作，如图所示，，，连接．则的最小值是________．

10 . 如图，直线经过、两点，直线与直线交于点C，与x轴交于点D．

(1)求点C的坐标；
(2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；
(3)把直线沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线与直线交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．

1 . 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点．

(1)求证：MD是⊙O的切线；
(2)若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；
(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上，连接CE并延长，交⊙O于点F，交AD于点P，连接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的长．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA＝2，S_△ABC＝12，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB．

(1)求直线AB的解析式；
(2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l₁，直线l₁与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l₂，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l₂上一个动点，求PD+PQ+DQ的最小值；
(3)若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝20，AD＝18，点Q为BC中点，动点P在线段AD边上以每秒2个单位的速度由点A向点D运动，设动点P的运动时间为t秒．

(1)当t为何值时，四边形PBQD是平行四边形，请说明理由?
(2)在AD边上是否存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值：若不存在，请说明理由．
(3)在线段PD上有一点M，且PM＝10，当点P从点A向右运动_________秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为_________．

4 . 如图，在中，，斜边，经过原点O，点C在y轴的正半轴上，交x轴于点D，且，反比例函数的图象经过A、B两点．

(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为直线上一动点，求的最小值．

5 . 如图，抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，则周长的最小值是______．

6 . 在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，点的坐标为，，点的坐标为，点为斜边上的一个动点，则的最小值为________．

7 . 如图1，在中，，点D为上一点，点P从A出发，沿边运动，连接，，设点P运动的路程为x，，其中关于的函数图象如图2所示，则图2中函数图象最低点的纵坐标m的值为（     ）

A．

B．

C．4

D．

8 . 如图，在中，，于O，于E，以点O为圆心，为半径作半圆，交于点F，若点F为的中点，，点P是边上的动点，则的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 如图，在边长为2的正方形中，P、Q分别为边，上的点，M，N在正方形内部，且，则的最小值为______．

   

10 . 以BC为斜边在它的同侧作Rt△DBC和Rt△ABC，其中∠A＝∠D＝90°，AB＝AC，AC、BD交于点P．
（1）如图1，BP平分∠ABC，求证：BC＝AB+AP；
（2）如图2，过点A作AE⊥BP，分别交BP、BC于点E、点F，连接AD，过A作AG⊥AD，交BD于点G，连接CG，交AF于点H，
①求证：△ABG≌△ADC；
②求证：GH＝CH；
（3）如图3，点M为边AB的中点，点Q是边BC上一动点，连接MQ，将线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK，连接PK、CK，当∠DBC＝15°，AP＝2时，请直接写出PK+CK的最小值．

1 . 如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．

(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．
(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值．

2 . 如图，以为直径的中，点为上一点，且，过点O作，垂足为，点为直线上一个动点，则，，构成的封闭图形周长最小值为________．

3 . 综合与实践
已知抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式及对称轴．
(2)如图1，

①若，则P点坐标为         ；
②若，则P点坐标为         ．
(3)如图2，连接、，与交于点D，若，求点P坐标．

(4)如图3，M、N是抛物线对称轴上两个动点，点M在点N上方，且，请直接写出的最小值        ．并写出此时M点的坐标        ．

4 . 如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当 PB＋PM 的值最小时，PM的长是________．

5 . 【问题初探】（1）数学活动课上，张老师给出如下问题：如图①，在中，，，点是边上一点，连结，在右侧作，使，，连结．求证：．

①小智同学从和都是等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为．
②小慧同学从结论的角度出发给出另外一种解题思路：如图②，在线段上截取，连结，通过证明，将转化为．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【拓展延伸】（2）如图③，在正方形中，是边上一动点（点不与点重合），将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连结、，若，则周长的最小值为________．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²＋bx＋c经过点A（4，0）、B（0，4）、C．其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线l上的动点，求△PBC周长的最小值；
(3)点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．

7 . 如图，凸四边形中，，若点M、N分别为边上的动点，则的周长最小值为（       ）

A．

B．

C．6

D．3

8 . 如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作圆交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，在边上是否存在一点使有最小值，如果存在，请求出的最小值．

9 . 如图，矩形，点分别在上，，连接，点是线段上的动点，且，则的最小值为___________．

10 . 如图，在菱形中，对角线、交于点，，，点为上的一个动点，点为上一点，且，点为上一点，且，则的最小值为_______．

1 . 如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________________ ．

2 . [问题提出]
初中数学的学习中，我们学习了“两点之间线段最短”“垂线段最短”等知识……常可利用它们来解决“最值问题”．
[简单运用]

(1)如图1，在△ABC中，AB＝6，∠A＝60°，∠B＝45°，在BC上取一点D，则AD的长的最小值是______．
[综合运用]
(2)如图1，在△ABC中，AB＝6，∠A＝60°，∠B＝45°，在BC、AB、AC．上分别取点D、E、F，使得△DEF的周长最小．画出图形确定D、E、F的位置，并直接写出△DEF的周长的最小值．
[拓展延伸]
(3)图2是由线段AB、线段AC、组成的图形，其中∠A＝60°，AB＝6，AC＝3，为60°，分别在BC、线段AB和线段AC．上取点D、E、F，使得△DEF的周长最小，画出图形确定D、E、F的位置，并直接写出△DEF的周长的最小值．

3 . 将沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处．展开如图1．

【操作观察】（1）图1中，，．
①则_______；
②若，则_______；
【理解应用】（2）如图2，若，试说明：；
【拓展延伸】（3）如图3，若，点G为AC的中点，且．点P是AD上的一个动点，连接PG、PC．求的最小值．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点分别在轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象在第一象限与正方形的两边分别交于点，过点作轴于点，连接，，，，线段与相交于点．设正方形边长为．有如下结论：
①四边形与面积相等；②当点为中点时，点为的三等分点；③若，，则直线的解析式为；④的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是______．

5 . 问题探究

(1)如图1，矩形中，，点为的中点，F，G为边上两点，且，当时，____________．
问题解决
(2)某景区计划在一块空地上打造一片花海露营区，已知米，，空地右侧边缘上任意一点均满足．设计师要在边上确定一点，在边上确定一点，连接的三边将空地分割成四个不同的区域，其中为露营区，另外三部分种植不同品种的花卉．为了节省围栏材料，需使的周长最小，在此基础上，尽可能使露营区域的面积最大．是否存在这样的点和？若存在，请画出满足条件的，并求出此时的周长和面积；若不存在，请说明理由．

6 . 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，于点N，过点作的平行线交正方形的外角的平分线于点，连接，．有如下结论：①；②；③四边形是平行四边形；④若，，点为直线上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是______．

7 . 如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，，点是线段上一动点，作交线段于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，延长线段交抛物线于点，点是边中点，当四边形为平行四边形时，求出点坐标；
(3)如图2，为射线上一点，且，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接，为的中点，连接，，问：是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由．

8 . 如图，在矩形中，．为中点，是线段（不含端点）上的动点，连结．设交于点为中点，连结．在下列结论中：①为的垂直平分线；②四点可能共圆；③周长的最小值为；④若为中点，则为等边三角形．正确的是______．（写出所有正确结论的序号）

9 . 已知Rt△ABC中∠C＝Rt∠，且BC＝9，∠B＝30°．
（1）如图1、2，若点D是CB上一点，且CD＝3，点E是AB上的动点，将△DBE沿DE对折，点B的对应点为B′（点B′和点C在直线AB的异侧），DB′与AB交于点H．
①当∠B′EA＝20°时，求∠EDB的度数．
②当△B′HE是等腰三角形时，求∠DEB的度数．
（2）如图2，若点D是CB上一点，且CD＝3，M是线段AC上的动点，以∠MDN为直角构造等腰直角△DMN（D，M，N三点顺时针方向排列），在点M的运动过程中，直接写出CN+NB的最小值．

10 . 如图，已知一次函数y＝kx＋b的图像经过A（1，4），B（4，1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．

(1)求该一次函数的表达式；
(2)若y轴存在一点P使PA＋PB的值最小，求此时点P的坐标及PA＋PB的最小值；
(3)在x轴上是否存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积；若存在请直接写出点M的坐标，若不存在请说明理由．

1 . 【问题探究】

(1)如图1，在梯形中，，连接，则      ；（填“”“=”或“<”）
(2)如图2，已知的半径为2，点是上一动点，点是外一定点，连接，取的中点，当点在上运动一圈时，求点运动的路径长；
小明同学进行了探究，他连接，取其中点，他猜想点的运动轨迹应该是以为圆心，1为半径的圆．请你帮小明同学完成求解过程．
【问题解决】
(3)某农业观光园的平面规划示意图如图3所示，在四边形中，，，，，点在边上，且，计划在四边形内修建一口水井，并沿修建三条笔直的灌溉水渠，且满足，在的中点处规划一座有机蔬菜餐厅，观光园的入口设置在边上，出口设置在边上，并沿规划观光小路，在区域种植某种有机蔬菜，为了合理购买蔬菜幼苗的数量，需要知道当取得最小值时，的面积，请你帮助规划人员计算出当取得最小值时，的面积．（水井、餐厅、出入口的大小以及水渠和小路的宽度均忽略不计）

2 . 数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．如图，在等腰中，．

(1)尺规作图：作关于直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，若点、点分别在和上运动，当取最小值时，求的长．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点，点在轴正半轴上，是对角线上的动点，是轴上的动点．当的值最小时，点的坐标为（        ）

A．

B．

C．

D．

4 . 【问题探究】
(1)如图1，已知一次函数（k、b为常数，）的图象经过点和点，点E在线段上，点E的横坐标为1．

①求一次函数的函数解析式；
②点F是线段上一点，，连接，求的面积．
【问题解决】
(2)如图2，在平面直角坐标系中，是供水管道网局部示意图，主管道长均为5（A、B分别在x轴、y轴的正半轴上）．在道路上有两个辖区P、Q，辖区P到管道的距离为2，辖区Q到管道的距离为1，市政部门计划在主管道上修建一处水库M，并分别铺设分支管道向两个辖区供水．为节约成本，要求分支管道总长最短，请确定水库M的修建位置（即点M的坐标），并求出的最小值．

5 . 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E，F分别在边AB，边BC上运动，点G在矩形内，且DG⊥CG，EF⊥FG，FG：EF＝1：2，则线段GF的最小值为_______．

6 . 如图，已知抛物线与x轴的交点A（-3，0），B（1，0），与y轴的交点是点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上一点，当PB＋PC的值最小时，求点P的坐标；
(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M，N，使得且以点C，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点M和点N的坐标；若不存在，说明理由．

7 . 在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __．

8 . 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．

（1）求MP的值；
（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？
（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）

9 . 问题情境：如图1，P是外的一点，直线PO分别交于点A，B．

(1)探究证明：如图2，在上任取一点C(不与点A，B重合)，连接，求证：；
(2)直接应用：如图3，在中，，，以为直径的半圆O交于D，P是弧上的一个动点，则的最小值是             ．
(3)构造运用：如图4，在边长为2的菱形中，，M是的中点，N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值为             ．
(4)综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点，点，分别以1，2为半径作、，M，N分别是，上的动点，直接写出的最小值为              ．

10 . 如图，等边的边长为6，点，分别是边，的中点，连接．
（1）如图①，求点到线段的最短距离；

   

（2）点，分别是，上的动点，连接、．
①如图②，当的长度取得最小值时，求的长度；
②如图③，点在上，若，连接，求的最小值．

1 . 如图，以矩形的顶点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处．

   

(1)直接写出点、的坐标；
(2)连接交于点，求的面积．
(3)在轴、轴上是否分别存在点、，使得四边形的周长最小？如果存在，求出周长的最小值和直线的函数解析式；如果不存在，请说明理由．

2 . 如图，平面直角坐标系中，点是直线上一动点，将点向右平移1个单位得到点，点，则的最小值为________.

3 . 如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标为，，，按下列要求作图，并回答下列问题．

(1)画出关于轴对称的图形（点，、分别对应）；
(2)的面积________；
(3)请在轴上找出一点，满足线段的值最小，画出点，并写出点坐标．

4 . 已知如图，在中，点是边上一点，连接，点是上一动点，连接．
（1）如图1，当时，连接，延长交于点，求证：；
（2）如图2，以为直角边作等腰，连接，若，当点在运动过程中，求周长的最小值．

5 . 解决下列问题：

【问题提出】
(1)如图1，在中，，，是边的中点，连接．是的中点，是上的一动点，则的最小值为_____．
【问题探究】
(2)如图2，四边形是平行四边形，，，．，是边上的动点，且，则的最小值为多少？
【问题解决】
(3)如图3，为加强劳动实践课程的教学效果，某学校准备在一块四边形空地上，规划两条活动课专用小路和，两条小路交于点，校园规划管理办公室计划在和两条路上分别选取点，，在，，处铺设三条水管，方便后期用水浇灌种植的农作物，并使得的长度最小．已知，，，，．按照计划，每铺设一米水管的费用为600元，学校的预算费用是46000元．请你帮助学校计算一下，学校准备的费用够吗？（参考数据：）

6 . 如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，点Q为线段上的动点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求的最小值；
（3）过点Q作交抛物线的第四象限部分于点P，连接，记与的面积分别为，设，当S最大时，求点P的坐标，并求S的最大值．

7 . 如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与轴交于点B(0，3)，与x轴交于C、D两点，
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若点P是对称轴上的一个动点，当△PBC周长最小时，求点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点Q，使点Q到直线BD的距离为？若存在，请直接写出Q的坐标，若不存在，请说明理由．

8 . 定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在，于点，，则为标准三角形．

   

(1)【概念感知】判断：对的打“√”，错的打“×”．
①等腰直角三角形是标准三角形．（       ）
②顶角为的等腰三角形是标准三角形．（       ）
(2)【概念理解】若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为______．
(3)【概念应用】如图，若为标准三角形，于点，，求的最小值．
(4)若一个标准三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．

9 . 如图，的半径为1，点为外一点，过点作的两条切线，切点分别为点和点，则四边形面积的最小值是___________．

10 . 如图，在中，，，，是的外接圆，是延长线上一点，且，连接，点是射线上的动点

          

（1）求证：是的切线；
（2）的长度为多少时，的度数最大，最大度数是多少？请说明理由；
（3）点运动的过程中，的值能否达到最小，若能，求出这个最小值；若不能，请说明理由．

1 . 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2分别与x、y轴交于A、C两点，点B（1，0）在x轴上．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点C关于原点的对称点为C′，问在AB的垂直平分线上是否存在一点G，使得△GBC′的周长最小？若存在，求出点G的坐标和最小周长；若不存在，请说明理由．
（3）设点P是直线BC上异于点B、C的一个动点，过点P作PQ∥x轴交直线AC于点Q，过点Q作QM⊥x轴于点M，再过点P作PN⊥x轴于点N，得到矩形PQMN，在点P的运动过程中，当矩形PQMN为正方形时，求该正方形的边长．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为10，对角线，点是的中点，点、是上的动点，且，求四边形周长的最小值．

3 . 在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆与轴相交于、两点，与轴相切于点，抛物线经过点、、，顶点为．
   
（1）求抛物线的表达式；
（2）点为轴上一点，连接，，是否存在点使得的周长最小？若存在，求出点的坐标及的周长最小值；若不存在，请说明理由．

4 . 已知，抛物线，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．

（1）求的长度和点D的坐标；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，求出的值最小时P点的坐标；
（3）点M是第三象限抛物线上一点，当最大时，求点M的坐标，并求出的最大值．

5 . 如图，直线与反比例函数交于点，过点作轴于点，的面积为2．点是反比例函数图象上一点，且横坐标为4，点、分别是直线和轴上的动点，求使周长最小时点、的坐标．
   

6 . 如图，已知抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）过原点O和点A(3，﹣3)，F(1，)是该抛物线对称轴上的一个定点，过y轴上的点B(0，)作y轴的垂线l．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P(m，n)是抛物线上的任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为M．求证：点P在线段FM的垂直平分线上；
（3）点E为线段OA的中点，在抛物线上是否存在点Q，使QEF周长最小？若存在，求点Q的坐标和QEF周长的最小值；若不存在，请说明理由．

7 . 已知，如图，二次函数图象的顶点为，与轴交于、两点(点在点右侧)，点、关于直线：对称.

(1)求、两点的坐标，并证明点在直线上；
(2)求二次函数解析式；
(3)过点B作直线交直线于K点，M、N分别为直线AH和直线上的两个动点，连结HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.

8 . 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．

          

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，连接，点是抛物线在第四象限上一点，连接，，求面积的最大值；
（3）如图②，点为抛物线的顶点，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接．将抛物线沿轴向右平移个单位，点，的对应点分别为、，连接、，当四边形的周长取最小值时，求的值．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，点在抛物线上.

（1）求直线的解析式.
（2）点为直线下方抛物线上的一点，连接，.当的面积最大时，连接，，点是线段的中点，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值.
（3）点是线段的中点，将抛物线与轴正方向平移得到新抛物线，经过点，的顶点为点，在新抛物线的对称轴上，是否存在点，使得为等腰三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

10 . 如图，在平面直角坐标系中，一次函数(为常数)的图像与轴交于点，与轴交于点，以直线为对称轴的抛物线，，为常数，且）经过、两点，并与轴的正半轴交于点．

(1)求的值及抛物线的函数表达式；
(2)若是抛物线对称轴上一动点，周长最小时，求出的坐标；
(3)是否存在抛物线上一动点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由；
(4)在（）的条件下过点任意作一条与轴不平行的直线交抛物线于，两点，试问是否为定值，如果是，请直接写出结果，如果不是请说明理由．

1 . 如图，四边形中，，，这样的四边形叫直角对等四边形．

(1)如图，在四边形中，，，点在线段上，且，，求证：四边形是直角对等四边形．
(2)如图，四边形是一个直角对等四边形，其中，，，，点在线段上，直接写出的最小值．
(3)如图，四边形是一个直角对等四边形，其中，，，作，射线交延长线于点，点是边上一点，且满足，连结，如果，求的长．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x－ 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E(4，n)在抛物线上．

(1)求直线AE的解析式；
(2)点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM＋MN＋NK的最小值．

3 . 如图，正方形的边长为，点在上，，点，分别在，上，于点，连接，．两位同学经过深入研究，小明发现：线段的长度始终为；小丽发现：当时，取到最小值为．请对两位同学的发现作出判断（        ）

A．小明的发现正确，小丽的发现错误	B．小明，小丽的发现都错误
C．小明的发现错误，小丽的发现正确	D．小明，小丽的发现都正确

4 . 将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点D是的中点，，．

(1)点B的坐标为_____；点D的坐标为_____．
(2)点P是边上的动点，点P关于x轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标．
(3)如图1，点E在上，求的最小值．
(4)如图2，折叠该纸片，使点C与点重合，折痕为，当M在边上时，求出直线的函数解析式．