将军饮马 - 初中数学 - 适中

1 . 如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为______．

2 . 如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为   边上一动点，当的值最小时，的度数是（       ）

A．118°

B．125°

C．136°

D．124°

3 . 如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　）

A．

B．

C．

D．

4 . 如图，正方形的边长是5，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值是（     ）

A．5

B．

C．

D．

5 . 如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，．
（1）如图①，，，．求证：；
             
（2）如图②，，当周长最小时，求的度数；
（3）如图③，若四边形为正方形，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度．

6 . 已知，在内有一定点P，点M，N分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（　　）

A．

B．3

C．

D．

7 . 如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点_______处，（填图中的字母）

8 . 如图，在正方形中，，点、是对角线上的两个动点，且，连接、，则的最小值是_______．

9 . 如图，抛物线与轴交于、，与轴交于点，点为的中点，点、分别为轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接、、，求四边形周长最小时点、的坐标．

10 . 如图，在中，,,，直线垂直平分线段，若点为边BC的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（）

A．9

B．13

C．12

D．14

1 . 如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为________．

2 . 如图，在矩形中，，．点E在上且．点G在上且，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为______．

3 . 如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（       ）

A．8

B．

C．10

D．

4 . 如图，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，且，点M、N分别在线段、上，连接，，点P为的中点，连接、，则的最小值为__________．

5 . 如图，在中，，点D为的中点，点E为上的一个动点，连接、，则的最小值为______．

6 . 如图，矩形中，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值是（     ）

A．3

B．4

C．5

D．6

7 . 已知点P在内．

   

(1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接．
①若，则是什么特殊三角形？为什么？
②若，试判断与的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值．

8 . 如图，中，，点分别是的中点，在上找一点，连接，当最小时，这个最小值是________________．

9 . 如图，正方形的边长为12，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为________．

10 . 如图，在平面直角坐标系中，点，M是线段的中点．

(1)求直线 的函数表达式；
(2)若点P是y轴上一点，且使周长最小，求最小周长．

1 . 如图，直线与x轴，y轴分别交于A和B，点C、D分别为线段的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为 ___________．

   

2 . 如图，在中，∠，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 _____．

3 . 如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是、上的动点，则的最小值是______．

4 . 如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________．

5 . 如图，正方形的边长为，点、分别在轴，轴的正半轴上，点在上，是上一动点，则的最小值为______．

6 . 如图，在中，边的垂直平分线交于点D，若，

(1)求的长；
(2)若点P是直线上的动点，直接写出的最小值为_________．

7 . 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（    ）

A．

B．

C．

D．

8 . 综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B．

(1)求线段的长；
(2)如图2，把直线沿y轴向上平移5个单位，与直线相交于点M，连接，求的面积；
(3)在直线上是否存在一点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

9 . 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

   

10 . 如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．

1 . 如图，在中，直径，位于点两侧且垂直于直径的两条弦长分别为，，若点为直径上任意一点，则的最小值为______．

2 . 如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

3 . 如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，．

（Ⅰ）使取最小值的动点的位置在点的__________侧.（填“左”或“右”）．
（Ⅱ）当的值最小时，请直接写出的度数.__________．

4 . 如图，函数的图象与轴，轴分别交于两点，点的坐标为，点为直线上的动点，连接，则的周长的最小值为___________．

5 . 如图，等腰三角形的底边长为，面积是．若点为边的中点，点为线段上一动点，仔细观察图中利用尺规作图的痕迹，可知周长的最小值是_____．

6 . 如图，直线与反比例函数的图像交于，两点．

   

(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)是否存在x轴上的一个动点P，使最小，若存在求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

7 . 如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为___．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，是轴上方的一个动点．若的面积等于面积的，则当的值最小时，点的坐标为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．
   

10 . 如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（       ）

A．2

B．

C．

D．1

1 . 如图，中，，点P为AC边上的动点，过点P作于点D，则的最小值为（       ）

A．

B．

C．5

D．

2 . 如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ___．

3 . 如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____．

4 . 如图，正方形中，点P是上一点，若，，则的最小值是________________．

   

5 . 如图，在中，，P、M、N分别是AB、AC、BC边上的动点，当的周长最小时，下列关于P点位置的描述中正确的是（     ）

A．P在AB边的中点处	B．连接CP，CP是的角平分线
C．	D．

6 . 综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？

【分析问题】小亮：如图（2），作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的．
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图（3），在直线上另取不同于点的任一点，连接，，．
∵点、关于直线对称，点、在直线上，
∴______，______，
∴______．
∵在中，，
∴______，即最小．
【解决问题】

任务一	请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上）
任务二	如图（4），将军从地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹）
任务三	如图（5），在、两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从村前往村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由村到村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置）

7 . 如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____．

8 . 如图，菱形草地中，沿对角线修建60米和80米两条道路，M、N分别是草地边、的中点，在线段BD上有一个流动饮水点，若要使的距离最短，则最短距离是 _____米．

9 . 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为________．

10 . 如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．

1 . 如图，在边长为8的正方形中，点G是边的中点，E、F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为______．

2 . 在中，，D为延长线上一点，点E为线段，的垂直平分线的交点，连接．

(1)如图1，当时，则      °；
(2)当时，
①如图2，连接，判断的形状，并证明；
②如图3，直线与交于点F，满足．P为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示与之间的数量关系为      ，并证明．

3 . 如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时___________．

4 . 如图，在学习了轴对称后，小华在课外研究三角板时发现“两块完全相同的含有角的三角板可以拼成一个等边三角形”，请你帮他解决以下问题：在直角中，，点E，P分别在斜边和直角边上，则的最小值是________．

5 . 如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为___________.
   

6 . 已知一次函数的图象与反比例函数交于点和．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)设点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标．

7 . 如图，等边的边长为6，是边上的中线，M是上的动点，E是边上一点，若，求的最小值．

   

8 . 如图，等腰三角形的底边长为6，腰的垂直平分线分别交边、于点，，若为边的中点，为线段上一动点，若三角形的周长的最小值为，则等腰三角形的面积为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 如图，在正方形网格上有一个，每个小正方形的边长为1个单位长度．

(1)画关于直线的轴对称图形（不写画法）；
(2)在直线上求作一点P，使最小，并求出最小值．

10 . 如图，在等腰直角中，，点D，E分别为，上的动点，且，，当的值最小时，的长为______．

   

1 . 如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为（       ）

A．5

B．

C．

D．10

2 . 如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为______．

3 . 在平面直角坐标系的位置如图所示（注：图中每小正方形的边长均为1）．

(1)请画出关于y轴对称的图形（、、分别是A、B、C的对应点，不写画法）；直接写出、、三点的坐标：______，______，______．
(2)的面积是______．
(3)在y轴上求作一点P，使的值最小．（不写作法，保留作图痕迹）

4 . 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．

(1)画，使与关于y轴对称；
(2)求的面积；
(3)在y轴上作一点P，使得最短；

5 . 如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，点A在点B的左侧，点C的纵坐标为3，且．

(1)求b和c的值．
(2)在抛物线的对称轴上存在一点P，使最小，请求出点P的坐标．
(3)抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，点A的坐标为．点B的坐标为，点C的坐标为．

   

(1)作出关于y轴对称的，其中，，分别是A，B，C的对应点；
(2)写出的坐标；
(3)在x轴上找一点P，使得的值最小．（保留作图痕迹）

7 . 为等腰直角三角形，为线段上一动点，为边的中点，则的最小值为___________．

8 . 几何模型：
条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个顶点．
问题：在直线l上确定一点P，使的值最小．
方法：作点关于直线的对称点，连接交于点，则的值最小（不必证明）

模型应用：
(1)如图2，已知平面直角坐标系中两定点和，P为x轴上一动点，则当的值最小时，点P的横坐标是___________，此时___________．
(2)如图3，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点，连接，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是___________．
(3)如图4，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，则的最小值为___________．
(4)如图5，在菱形中，，，点是边边的中点，点，分别是，上的两个动点，则的最小值是___________．

9 . 如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是_______．

10 . 在平面直角坐标系中有，两点，坐标分别为，，若轴上存在一点，使的值最小，那么这个最小值为______．

1 . 如下图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，直线与抛物线交于A，B两点，直线l为．

(1)抛物线的表达式为_______．
(2)在l上是否存在一点P，使取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 如图，点，都在双曲线上，点C，D分别是x轴、y轴上的动点（C，D不同时与原点重合），则四边形ABCD的周长的最小值为（       ）

   

A．

B．

C．

D．

3 . 如图1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，点E是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H（a，b）是图象上的最低点，则a+b的值为（　　）

A．

B．

C．

D．36

4 . 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（       ）

A．1.5

B．1.2

C．2.4

D．以上都不对

5 . 如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_____．

6 . 如图，立方体的棱长为2，P是上一动点，则的最小值是（     ）

A．

B．

C．

D．

7 . 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短？

8 . 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，，点F是线段AD上的动点，则的最小值为______．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，，，．

(1)在图中画出关于x轴对称的；
(2)在y轴上作出一点P，使最小，请在图中标出点P的位置．
(3)连接，则的面积为______．

10 . 已知：如图所示，

(1)作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标．
(2)在轴上找一点使得最小，画出点所在的位置；
(3)求的面积．

1 . 如图1，正方形中，点是的中点，点是对角线上的一个动点，设，，当点从向点运动时，与的函数关系如图2所示，其中点是函数图象的最低点，则点的坐标是（       ）

A．

B．

C．

D．

2 . 在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.

(1)若E为边OA上的一个动点，求的周长最小值；
(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

3 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．
（1）求证：△ADC为等边三角形；
（2）求PD+PQ+QE的最小值．

4 . 已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（       ）．

A．	B．
C．	D．

5 . 平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，m＋2），点Q（n，0），点M（1，1），则PQ＋QM最小值为_________．

6 . 如图，已知平面直角坐标系．

(1)作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标．
(2)求的面积．
(3)在轴上画出点，使最小．（保留作图痕迹）

7 . 如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（        ）

A．	B．
C．	D．

8 . 如图，正方形的边长为8，，N 为上一点，则的最小值为_______．

9 . 已知如图所示（顶点、、都在格点上）．

(1)请画出将绕点逆时针旋转后得到的，其中点对应点，点对应点．
(2)请画出与关于原点对称的．
(3)在轴上求作一点，使的值最小，并直接写出P点的坐标为______．

10 . 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，请按要求完成下列问题．

(1)画出关于直线对称的（与，与，与相对应）；
(2)在直线上画出点，使的值最小．

1 . 在如图的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点)，点A的坐标为．

(1)请画出关于x轴对称的    (不写画法，其中   分别是A，B，C的对应点)；
(2)直接写出C三点的坐标；
(3)在y轴上求作一点P，使的周长最小．(简要写出作图步骤，必要时可用黑色笔描画痕迹)．

2 . 在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．
（1）如图1，当点C₁在线段CA的延长线上时，求∠CC₁A₁的度数；
（2）如图2，连接AA₁，CC₁．若△ABA₁的面积为4，求△CBC₁的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P₁，求线段EP₁长度的最大值与最小值．

3 . 在直角坐标系中有和两点，是轴上的任意一点，则长度的最小值是？

4 . 如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当的周长最小时，的度数为______．

5 . 要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．

6 . 如图，等边的边长为4，点是边的中点，点是的中线上的动点，则的最小值是_____．

7 . 如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．

（1）求边AB的长；
（2）求点C，D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

8 . 如图，在平面直角坐标系中的坐标分别是 ，，．

(1)画出 关于轴对称的图形（A，B，C 的对应点分别为，，），并写出 ， 的坐标；
(2)在 x 轴上画出点 P，使得的值最小．

9 . 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题：

(1)在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点；
(2)若体育馆位置坐标为，在坐标系中标出点，并连接，得到，
①求的面积．
②点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标．

10 . 如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，的顶点均在格点上．

(1)画出关于原点成中心对称的．
(2)画出绕点C逆时针旋转得到的．
(3)在x轴上是否存在一点P，使得的周长最小？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

1 . 综合与探究
如图，已知抛物线经过，两点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的解析式，连接，并求出直线的解析式；
(2)请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，此时点的坐标是 　　；
(3)点在第一象限的抛物线上，连接，，求出面积的最大值．

2 . 如图，牧童在处，、处相距河岸的距离，的长分别为和，且，两地距离为，天黑前牧童从处将牛牵到河边饮水，再赶回家，那么牧童最少要走______．

3 . 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________．

   

4 . 如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（       ）

A．

B．3

C．2

D．4

5 . 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，当BM＋MN取最小值时△BMN的周长为______．

6 . 如图，在锐角∠AOB的内部有一点P，试在∠AOB的两边上各取一点M，N，使得△PMN的周长最小．（保留作图痕迹）

7 . 如图，点A是将军和马居住的营帐，点B是一块儿指定的草地，一条小河L潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，P点在何处时，将军和马儿走过的路的值最小．

(1)请在图中画出最短路径，标出点P的位置；
(2)证明这时最小．

8 . 如图，在平而直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，．

(1)在图中作，使与关于轴对称；
(2)若点P是x轴上的一动点，则的最小值是：______．

9 . 在平面直角坐标系中，点，点，若有一点，当的值最小时， ________．

10 . 如图所示，已知A（1，y₁），B（2，y₂）为反比例函数y图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大值时，点P的坐标是（       ）

A．（3，0）

B．（，0）

C．（，0）

D．（，0）

1 . 如图，∠AOB＝45°，角内有一点P，PO＝10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是____；当△PQR周长最小时，∠QPR的度数＝__．

2 . 在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”中，如图所示，点在上，且，若为边上一动点，当的周长最小时，则的值为______．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且，，．

(1)将向右平移5个单位长度得到，与关于x轴对称，请画出，并写出顶点，，的坐标；
(2)请在y轴上画出一点P，使得的值最小（保留作图痕迹，不写作法）．

4 . 如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝5，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值为___．

5 . 在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）．

   

(1)画出关于轴对称的；
(2)在轴上求作一点，使的周长最小，请画出．

6 . 如图，，两个村庄在河的同侧，两村庄的距离为千米，，它们到河的距离分别是1千米和3千米，为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河边上修建一水厂向，两村输送水．

   

(1)在图上作出向，两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置．（只需作图，不需要证明）
(2)经预算，修建水厂需30万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．

7 . 已知：如图，边长为4的正方形ABCD中，点E为边DC上一点，且DE＝1，在AC上找一点P，则DP+EP的最小值为___．

8 . 如图为的正方形网格，每个小正方形的边长为1，顶点称为格点，线段的端点均在格点上．按要求画图（只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法）．

(1)在图中画出一个以为边的等腰钝角三角形，使点C在格点上．
(2)图中的面积为________．
(3)在（1）的基础上，在线段上找点P，在线段上找点Q，使最短．

9 . 如图所示，，点为内一点，，点分别在上，求周长的最小值．

10 . 如图，在直角坐标系中，点A（2，2），C（4，4）是第一象限角平分线上的两点，点B的纵坐标为2，且BA＝CB，在y轴上取一点D，连接AB，BC，AD，CD，使得四边形ABCD的周长最小，则这个周长的最小值为____．

1 . 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值．请在横线上补充其推理过程或理由．

解：如图2，延长BC到点B′，使得BC＝B′C，连接PB′
∵ ∠ACB＝90°（已知）
∴ 　     （垂直的定义）
∴ PB＝　     （线段垂直平分线的性质）
∴ PB+PD＝PB′+PD（等式性质）
∴ 过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′，
在△ABC和△AB′C中，
∵ AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′＝90°， 　 　∴ △ABC≌△AB′C（理由：　 　）
∴ S_△ABB′＝S_△ABC+ 　 ＝2S_△ABC（全等三角形面积相等）
∵ S_△ABB′＝AB﹒B'D＝×10×B′D＝5B′D
又∵S_△ABB′=2S_△ABC＝2×BC﹒AC＝2××6×8＝48
∴ 　 （同一三角形面积相等）
∴ B′D＝
∴ 　       　

2 . 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC底边BC上的中线，点P为线段AB上一点．
（1）在AD上找一点E，使得PE+EB的值最小；
（2）若点P为AB的中点，当∠BPE满足什么条件时，△ABC是等边三角形，并说明理由．

3 . 如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一个动点，则的最小值是________．

4 . 在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得线段MA′．
（1）如图①，线段MA'的长＝___．
（2）如图②，连接A'C，则A'C长度的最小值是___．

5 . 如图，在中，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．

（1）若，求的度数；
（2）若点P为直线上一点，，求周长的最小值．

6 . 如图，点A（a，3）、B（b，1）都在双曲线y上，点C、D分别是x，y轴上的动点，则四边形ABCD的周长最小值为__．

7 . 如图，一次函数y＝kx﹣6过点A（﹣2，﹣2），与y轴交于点B．

(1)求一次函数表达式及点B坐标；
(2)在x轴上找一点C，连接BC，AC．当BC＋AC最小时，
①请直接写出点C的坐标为______；
②请直接写出直线BC的函数表达式为______；
③在坐标轴上找点D，连接BD，CD，使S_△ABC＝S_△BCD，请直接写出点D的坐标为_____．

8 . 如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把边AB沿对角线BD平移，点A′，B′分别对应点A，B给出下列结论：
①顺次连接点A′，B′，C，D的图形是平行四边形；
②点C到它关于直线AA′的对称点的距离为50；
③A′C﹣B′C的最大值为15；
④A′C+B′C的最小值为9．
其中正确结论的序号是______________

9 . 如图，点是内任意一点，，，点、分别是射线、上的动点，求周长的最小值．

10 . 如图，在中，，，点在边上，且，点是上一动点，连接、，则的最小值为______．

1 . 如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，l上有两点A、B，且点A坐标为（－14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位，动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示P、Q的坐标：P（ _________ ），Q（ _________ ）；
（2）在P、Q运动过程中，取线段PQ的中点D，当OBD为直角三角形时，求出t的值及相应的点D的坐标；
（3）取满足（2）中条件最右侧的D点，若坐标系中存在另一点E（，－4），请问x轴上是否存在一点F，使FD－FE的值最大，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．

2 . 平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．

(1)在图中作，使和关于轴对称，并写出，，的坐标；
(2)求出的面积；
(3)在x轴上找一点，使的值最小（保留作图痕迹）．

3 . 如图，已知，，．

（1）作关于轴的对称图形；
（2）请直接写出点，，的坐标；
（3）直线平行于轴，在直线上求作一点使得的周长最小，请在图中画出点．

4 . 在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，其中处各有一颗棋子．

(1)如图1，依次连接A，B，C，A，得到一个等腰三角形（BC为底边），请在图中画出该图形的对称轴．
(2)如图2，现x轴上有两颗棋子P，Q，且（P在Q的左边），依次连接A，P，Q，B，使得 的长度最短，请在图2中标出棋子P，Q的位置，并写出P，Q的坐标．

5 . 直线和双曲线交于点，．

(1)求，，的值；
(2)在坐标轴上有一点，使的值最小，直接写出点的坐标．

6 . 教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容．

(1)问题解决：请结合图①，写出例1的完整解答过程．
(2)问题探究：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，∠BAD＝2∠ABC．过点D作DE//AC交BC的延长线于点E．如图②，连结OE，则OE的长为____．
(3)如图③，若点P是对角线BD上的一个动点，连结PC、PE，则PC＋PE的最小值为_____．

7 . 如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的．
（2）若B为坐标原点，请写出、、的坐标，并直接写出的长度．．
（3）如图2，A，C是直线同侧固定的点，D是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点D，使最小．（保留作图痕迹）

8 . 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．

(1)画出关于轴对称的；
(2)在轴上找一点，使的值最小（保留作图痕迹），并写出点的坐标．

9 . 在平面直角坐标系中，矩形纸片AOBC按如图方法放置，点A、B分别在y轴和x轴上，已知OA=2，OB=4，点D在边AC上，且AD=1．

解答下列问题．
（1）点C的坐标为 _______；
（2）在x轴上有一点E，使得△CDE的周长最短，求出点E的坐标及直线CE的解析式．
（3）在平面直角坐标系内是否存在点P，使得以C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

10 . 如图，正方形的边长为4，、为对角线上的动点，且，连接、，求周长的最小值．

   

1 . 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是：，，．

(1)在平面直角坐标系中描出各点，画出；
(2)请作出关于x轴对称的，并直接写出，，的坐标；
(3)在x轴上找一点P，使最小，则的最小值为___________．

2 . 如图，在中，，，，是上一点，且，是上的动点，连接、，则的最小值为______．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，、、，点、分别是直线和轴上的动点，求周长的最小值．

4 . 如图①，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处．

（1）求点、的坐标；
（2）如图②，若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作于点，设的长为，的面积为，请求出关于的关系式；
（3）如图③，在轴、轴上是否分别存在点、，使得四边形的周长最小？若存在，请求出四边形周长的最小值及此时点、的坐标；若不存在，请说明理由

5 . 如图，在中，，，，平分，点是边的中点，点是上的动点，则的最小值为______．

6 . 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．

（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若∠BAC=90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的情况下，点M在AC线段上移动，请直接回答，当点M移动到什么位置时，MB+MD有最小值．

7 . 如图所示，已知A（，y₁），B（2，y₂）为反比例函数y图象上的两点，动点P（x，0）在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之和达到最小时，点P的坐标是___；当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是___．

8 . 已知在中，，，，将绕点顺时针旋转60°，得到，点在上，连接．
                  
（1）如图①，求线段的长；
（2）如图②，连接，作，垂足为，求的长度；
（3）如图③，点是线段的中点，点是线段上的动点（不与点重合），求周长的最小值．

9 . 如图，在矩形中，，，点、分别是、上的点，且，若、分别是、边上的动点，求四边形周长的最小值．

   

10 . 如图，一牧童在处放羊，牧童的家在处，、距河岸的距离、分别为500m和700m，且、两地相距500m，天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家，那么牧童至少应该走______m．

1 . 如图，在平面直角坐标系中，、，点是轴上的动点，过点作垂直直线于点，连接、，求的最小值及此时点的坐标．

2 . 如图，在矩形中，，，为对角线，、分别为边，上的动点，且于点，连接，，求的最小值．

3 . 如图，⊙C半径为1，圆心坐标为（3，4），点P（m，n）是⊙C内或⊙C上的一个动点，则m²＋n²的最小值是___．

4 . 作图探究：如图，点P是直角坐标系xOy第三象限内一点．
（1）尺规作图：请在图中作出经过O、P两点且圆心在x轴的⊙M；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若点P的坐标为（﹣4，﹣2）．
①请求出⊙M的半径；
②填空：若Q是⊙M上的点，且∠PMQ＝90°，则点Q的坐标为 ．

5 . 如图，在平面直角坐标系中，，，．

（1）在图中作出关于轴的对称图形；
（2）写出点，，的坐标，并求出的面积；
（3）若在轴上存在点使最小，则点的坐标为______．

6 . 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．

(1)在平面直角坐标系中画出，并求的面积；
(2)画出关于轴对称的；
(3)在轴找一点，使最小．（保留作图痕迹，在图中标出点）

7 . 如图，正方形网格中．

(1)画出关于直线对称的图形；（点，，的对应点分别为点，，，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．下同）
(2)在直线上找一点，使周长最小．

8 . 问题提出
（1）在图1中作出点关于直线的对称点
问题探究
（2）如图2，在中，，，为的中点，为线段上一点，求的最小值.
问题解决
（3）如图3，四边形为小区绿化区，，，，，，是以为圆心，为半径的圆弧.现在规划在，边和边上分别取一点，，，使得为这一区域小路，求小路长度的最小值.

9 . 如图，函数的图象与双曲线相交于点和点B．

(1)求双曲线的解析式及点B的坐标；
(2)若点P在y轴上，连接，，求当的值最小时点P的坐标．

10 . 如图平行四边形ABCD中AB=AD=6，∠DAB=60°，F为AC上一点，E为AB中点，则EF+BF的最小值为____________．

1 . （1）画出△ABC关于y轴的对称图形，并写出的顶点坐标；
（2）在x轴上求作点P，使PA+PC的值最小．