费马点 - 初中数学 - 困难

1 . 在等边中，点D是边上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，则，连接交于点F，交于点H．

(1)如图1，当点为中点时，且，求点到直线的距离；
(2)如图2，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在内部有一个动点P，连接，，，若等边的高等于6，当的值最小时，直接写出此时线段的长．

2 . 如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是______．

3 . 已知等腰，，点为三角形内一点，连，，．

(1)如图，若为等边三角形，且，，求的度数以及边长；
(2)如图，若，，求的最小值．

4 . 如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求最小值

5 . 背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．

(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．
(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．
(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．

6 . 如图，在中，，P是内一点，求的最小值为______．

7 . 阅读下面材料，并解决问题：

(1)思维指引
如图①等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________；
(2)知识迁移
如图②，中，，，、为上的点且，，求的长度；
(3)方法推广
如图③，在中，，，，点为内一点，连接，直接写出的最小值．

8 . 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________．

9 .
中，．

(1)如图1，若，平分交于点，且．证明：；
(2)如图2，若，取中点，将绕点逆时针旋转至，连接并延长至，使，猜想线段、、之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，若，为平面内一点，将沿直线翻折至，当取得最小值时，直接写出的值．

10 . 如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值．

1 . 在中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转 为线段．

(1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度；
(2)如图2，点G为延长线上一点，使得，连接交于点H，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，平面内一点P，当最小时，求的面积．

2 . 【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”．
如图，点是内的一点，将绕点逆时针旋转60°到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当，，，四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”．

(1)【拓展应用】
如图1，点是等边内的一点，连接，，，将绕点逆时针旋转60°得到．

①若，则点与点之间的距离是______；
②当，，时，求的大小；
(2)如图2，点是内的一点，且，，，求的最小值．

3 . 如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为(0，2)，点在轴的正半轴上，，OE为△BOD的中线，过B、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.

（1）求抛物线的解析式；
（2）等边△的顶点M、N在线段AE上，求AE及的长；
（3）点为△内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.

4 . 问题背景：如图，将绕点逆时针旋转60°得到，与交于点，可推出结论：

问题解决：如图，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是___________

5 . 如图1，正方形的边长为4，以B为圆心的与，分别交于点E，F，连接，．

(1)求的长；
(2)连接，把绕点B顺时针旋转，在旋转的过程中．
①求的取值范围；
②如图2，取的中点G，连接并延长交直线于点H，点P为正方形内一动点，求的最小值．

6 . 如图，在中，，，，点为平面内一点，，连接、，点为内一点，连接、、则的最小值为________．

7 . 如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．
   

8 . 如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　）

A．

B．

C．

D．

9 . 【问题提出】

（1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________．
（2）如图2，在中，，，求的最小值．
【问题解决】
（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积．

10 . 如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝_____．