隐圆 - 初中数学 - 困难

1 . 如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）

   

A．

B．

C．

D．

2 . 如图，在中，，，以为斜边在上方作等腰直角三角形．

(1)如图1，若，，求的长度；
(2)如图2，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，延长交于点，连接．点，分别是，的中点，连接，．求证：；
(3)如图3，，，点在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点在直线上，连接，，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接．当取得最小值时，连接，，请直接写出面积的最大值．

3 . 在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．

4 . 如图，矩形中，，，点E是边上一点，且，点F是边上任一点，把沿翻折，点B的对应点为，连接、，则以下结论正确的是（     ）

①当与相似时，；②的最小值是；③点到距离的最小值是；④取的中点P，连接，则的最大值是．

A．①③④

B．②③④

C．②③

D．②④

5 . 如图，四边形和均为正方形，将绕点旋转；

(1)如图①，连接，判断直线的位置关系并说明理由；
(2)如图②，连接，若，探索并证明线段的数量关系；
(3)如图③，若正方形、边长分别为，绕点旋转一周，直线与相交于点，直接写线段的最小值及点运动轨迹的长度．

6 . 如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为__________，最大值为__________．

7 . 如图，在中，，，D为线段上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线于点E，连接．

(1)如图1，若，，求线段的长．
(2)如图2，若，过点B作，交射线于点F，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
(3)如图3，若，，过点A作的垂线，垂足为点M，当取得最小值时，直线上方有一点Q，使得，当取得最小值时，直接写出的值．

8 . 在中，，，点是边上一点（不与端点重合），连接．

(1)如图1，平分交于点，连接，若，，求的长；
(2)如图2，作于点，为延长线上一点，连接，满足，平分交于点，在左侧作，并截取，连接，请猜想，，三条线段之间的数量关系并证明；
(3)如图3，，是边的中点，为边上一动点，，为直线上一动点，连接，，，当取最小值时，将沿所在直线翻折到所在平面内得，连接，以为斜边在的右侧构造等腰直角，所在直线交直线于点，连接，当取最小值时，请直接写出的长度．

9 . 在中，，是延长线上一点，，是线段上一动点，连接，过点作于点，交于点．

(1)如图1，过点作于点，交于点，证明：；
(2)在（1）的条件下，如图2，在线段上截取，连接，若，，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，连接，将关于对称得到，连接，以为斜边在左侧作等腰，连接，若，，当最小时，直接写出的面积．

10 . 如图，在菱形中，，，点分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为___________．

1 . 如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．

2 . 在中，，点为线段上一点，点为平面内一点．

(1)如图1，若，且，，连接，若，求（用含的式子表示）；
(2)如图2，连接，，满足且，取的中点，连接，若，猜想与之间的数量关系并证明；
(3)如图3，，，点与点位于直线的异侧，连接，，，满足，且最大，连接，求当取到最大值时，的面积．

3 . 如图，是半径为3半圆O的直径．是圆中可移动的弦，且，连接相交于点P，弦从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转，则交点P运动的路径长是（     ）

A．

B．

C．

D．

4 . 如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为______．

5 . 1.问题发现
图（1），在和中，，，，连接，交于点M.
①的值为______；②的度数为_______．
（2）类比探究
图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．
①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长；
②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值．

6 . 问题发现：
（1）如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°，则点P与⊙O的位置关系是           ；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O的位置关系是           ．
问题解决：
如图②、图③所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝2，点P是BC边上任意一点．
（2）当∠APD＝45°时，求BP的长度．
（3）是否存在点P，使得∠APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由．

7 . 如图，在中，，，点D是延长线上一点，点E在线段上，于点F，交于点G．

(1)如图1．若，．求的度数：（用含的代数式表示）：
(2)如图2，若，证明：；
(3)如图3，若．H为的中点，，当的面积最大时，请直接写出此时的值．

8 . 如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值___________．

9 . 如图，的半径为4，弦的长为，点P为优弧上一动点，交直线于点C，则的面积的最大值是（     ）

   

A．

B．

C．

D．

10 . 如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（     ）

A．

B．

C．

D．

1 . 如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为______．

2 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．
（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆．
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和⊙C的半径；
②y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；
（2）当点P在y轴正半轴上运动时，∠APB是否有最大值？如果有，说明此时∠APB最大的理由，并求出点P的坐标；如果没有请说明理由．

3 . 在中，，，为的中点，为上一点．

(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，若为外部一点，为的中点，将绕点按顺时针方向旋转到（，均在直线的左侧），连接、．若，求证：；
(3)将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，请直接写出的值．

4 . 如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为__________________．

5 . 在中，，点D为平面内一点．

(1)如图1，若点D在线段上，且，求的值；
(2)如图2，若点D为内部一点，且，连接，点E为的中点，连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明；
(3)若点D满足，当时，请直接写出的最小值．

6 . 在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点的对应点分别为点．

(1)如图，当点落在边上时，连接．
①求的值；
②若，求的长；
(2)如图，若保持，点在上移动（可与点重合），试确定的长度范围．

7 . 如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为______．

8 . 如图，中，，，点在射线上，且，则的最小值为______．

9 . 如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（       ）．

A．6

B．

C．9

D．

10 . 如图1，是的直径，弦，垂足为，为上一点，连接，，．

(1)求证：；
(2)如图2，，，
①若恰好经过圆心，求线段的长；
②如图3，为上的一个动点，作，连接，求的最小值．

1 . 如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____．

2 . 问题提出
（1）如图①，在中，，则点A到的最大距离为_______；

问题探究
（2）如图②，在矩形中，，E是上一动点，连接，求，的最小值；
问题解决
（3）如图③，矩形的四边是某市产业新区的外环路，分别是四条贯穿路．已知，I、J分别是线段上一点，连接．现计划在三角形区域处修建一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值：若不存在，请说明理由．（结果保留根号）

3 . 正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为_________．

5 . 如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连接，使得面积为9，连结，则的最大值是________．

6 . 已知正方形边长为2，点E是正方形边上的动点，点F在边上，，线段相交于点M，连接，则点E从点A运动到点B的过程中，线段扫过的面积是_______．

7 . 如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是______．

8 . 如图，在中，，为直线上一点，点为直线上一点，在线段上．

   

(1)如图1，，，平分，求的长度；
(2)如图2，，以为边向上作一个等边三角形，连接，，点为的中点，连接，求证：；
(3)如图3，，，点在直线上运动的过程中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当取最小值时，连接，，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积．

9 . 如图，在矩形中，．

(1)如图1，过点D作，垂足为E，求证：；
(2)如图2，在（1）条件下，点F为上一点，连接并延长至点G，交于点O，连接、，当时，判断的形状，并说明理由；
(3)如图3，平面内一点M，满足，，，连接并延长至点H，使，连接，当线段取最小值时，求线段的长．

10 . 如图，在边长为2的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论：

①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为．
上述结论中，正确结论的序号有_____．

1 . 已知的直角顶点与原点重合，点，都落在抛物线上，则与轴的交点为________；若于点，则点到点的最大距离为________．

2 . 综合与探究

【方法探究】
(1)如图1，直线，A，B两点在直线上，，，三点在直线上，连接，，，，，，我们发现，，面积的数量关系是______，理由是______
(2)如图2，是的直径，C是上的动点（C不与A重合）、D是的中点，用圆规和无刻度直尺在图2中作出点D的运动路径（不写作法、保留作图痕迹），简要说明理由；
(3)【问题解决】如图3，直线，是上一点，，垂足为N，、是射线上的动点，连接，过点在上方作射线，是上的一点，连接，，求线段的最大值．

3 . 已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形，M为线段上的动点，将沿直线对折，使O点落在处．

(1)如图①，当时，求点的坐标；
(2)如图②，连接，当时．
①求点M的坐标；
②连接，求与重叠部分的面积；
(3)当点M在线段（不包括端点）上运动时，请直接写出线段的取值范围．

4 . 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为______．

5 . 如图，四边形中，，．若四边形面积的最大值为，则对角线的长为___________．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，和分别是轴正半轴和线段上的动点，满足，连接，则的最大值是___________．

7 . 如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（   ）

A．2

B．+1

C．2﹣2

D．3

8 . 【问题原型】

如图①，，点C为上一点，且，D是边上的动点，，且，连接，求的最大值．
【问题探究】
如图②，小明过点C做，过点E作，可得，连结、，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，又因为，最终确定点E的轨迹进而解决问题．
以下是小明确认为定值的部分过程：
证明：由【问题探究】的作法可知，．

证明过程缺失

．
请你补全缺失的证明过程
【问题解决】
请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出【问题原型】中的点E的轨迹，并直接写出最大值______（保留作图痕迹）
【问题拓展】
如图，，C为上一点，，D是边上的动点，，且，直接写出的最大值______．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（       ）

A．

B．12

C．

D．

10 . 解答下列各题：

(1)问题背景：如图1，在中，，求证：；
(2)学以致用：如图2，在中，于点，，求证：；
(3)拓展提高：如图3，在中，为中点，连接，点为射线上一动点，且，直接写出的最小值．

1 . 如图中，，，，D为平面内一点，连接，过点B作，与的延长线相交于点E，且，则面积的最大值为________．

2 . 问题探究

(1)如图①，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为___________．
(2)如图②，在中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段的最小值．
问题解决
(3)如图③，某学校规划一块矩形劳动实践基地，用于班级种植，是两个工具房，分别在，边上，且，沿铺设一条运送通道，再从点铺设一条垂直于的小路，在点处修一个肥料存放点，点处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点处获取肥料，需要沿铺设一条小路，要求尽可能的短，已知，．请问是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．（工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计）

3 . 折纸起源于大约公元1世纪的中国，与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．小明通过近期的学习发现，与圆有关的折叠问题渐渐成为探究的热点，他决定做个系列探究活动．

(1)【初步尝试】
如图1，在中，是直径，点为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，已知，求的度数；
小明在解决这个问题时发现：解决圆的翻折问题有一个关键是翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆．这样一来，图1中易得．
请在小明的“发现”的提示下，求出的度数；
(2)【深入探究】
如图2，在中，是直径，点C为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，若已知的半径为5，且．
①求此时的长；
②直径上方半圆的中点为P，弧的中点为Q，连接，则的长为 ______；
(3)【思维进阶】
如图3，在（2）的条件下，点M为弧上的动点，连接并延长，交于点N，的中点为G，连接，请直接写出的最小值．

4 . 如图①，在等腰和等腰中，，，，为的中点，为的中点，连接，，．

(1)若，求的长度；
(2)若将绕点旋转到如图②所示的位置，请证明，；
(3)如图③，在绕点旋转的过程中，再将绕点逆时针旋转到，连接，若，请直接写出的最大值．

5 . 如图，已知四边形是边长为的正方形，为上一点，且，为射线上一动点，过点作于点，交直线于点．当时， ______；在点运动过程中， 的最小值为________．

6 . 【学习心得】
数学兴趣小组成员在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何图形如果添加辅助圆（隐形圆），运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

(1)如图1，在中，，，是外一点，且，若以点为圆心，为半径作，则点，必在上，是的圆心角，而是圆周角．
①求的度数；
②若点也在上，且点与点在弦（与，不重合）的两侧，求的度数．
【问题解决】
(2)如图2，在四边形中，，连接，，若，求的度数．
【问题拓展】
(3)如图3，，是正方形的边上的两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为4，则线段长度的最小值是________（直接写出答案）．

7 . 定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，点、、分别为、、的中点，且连接、．

(1)观察猜想
线段与______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．
(2)绕点按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接，，试判断与是否为“等垂线段”，并说明理由．
(3)拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出与的积的最大值．

8 . 如图，在四边形中，P、Q分别为、上的动点，点P以每秒3个单位长度的速度由A向D运动，同时，点Q以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，过点D作，垂足为点G，则的最大值为________．

9 . 在中，，CA＝2CB．将线段CA绕点C旋转得到线段CD．

(1)如图1，当点D落在AB的延长线上时，过点D作交AC的延长线于点E，若BC＝2，求DE的长；
(2)如图2，当点D落在CB的延长线上时，连接AD，过点C作CF⊥AB于点F，延长CF交AD于点E，连接BE，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿AC翻折得到，M为直线AD上一个动点．连接BM，将沿BM翻折得到．当最小时，直接写出的值．

10 . 在中，．

(1)如图1，若，，求的面积；
(2)如图2，D为上一点，，F为延长线上一点，连接并延长至点G，使得，连接，过点C作交延长线于E，若，请证明：；
(3)如图3，，，D为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕E顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值．

1 . 如图，在△ABC和△DEF中，，，，BC、EF交于点M，且点M为BC、EF的中点，将△DEF绕点M旋转．

(1)如图1，当△DEF旋转至点A在FD延长线上时，若，，，求线段BF的长；
(2)如图2，当△DEF旋转至点A在FD延长线上，求证：；
(3)如图3，在△DEF旋转过程中，直线AD与直线CF交于点N，连接BN，P为BN的中点，连接AP，若，请直接写出线段AP的最大值．

2 . 如图，已知正方形的边长为2，点P在射线上，则的最小值为 __________________．

   

3 . 如图，是等腰直角三角形，正方形绕点A逆时针旋转，再延长交于G，以下结论中：①；②；③当，时，，正确的有（       ）

A．3个

B．2个

C．1个

D．都不对

4 . 如图，在中，，，点D在边上且，连接，当最大时，的长为______．

5 . 问题探究

(1)如图①，已知中，，点是的中点，连接，则的长为______；
(2)如图②，已知中，为内一点，且，，请求出的长度；
(3)如图③，四边形中，，，，，点为四边形内一点，且始终有，连接、，请问是否存在一点，使得的值最小？如果存在，求出的最小值；如果不存在，请说明理由．

6 . 如图，正方形中，点E，F分别是边、上的动点，且，则的最小值为______．

7 . 如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H．连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是 ___．

8 . （1）如图1，已知线段，平面内有一动点，且，则的最小值为______．
（2）如图2，中，，点为的中点，点为内一动点，，连接，过点作，且，连接，求的长．
（3）某工厂计划加工如图3所示的零件，要求分米，，在上有一点，连接，请你帮工人师傅计算是否存在最小值，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．

   

9 . 如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC＝12，点D为上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是____．

10 . 如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动．

(1)求点Q的运动总长度；
(2)若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值．

1 . 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是____________．

2 . （1）如图1，等边的边长为2，点D为边上一点，连接，则长的最小值是______；
（2）如图2，已知菱形的周长为16，面积为，E为中点，若P为对角线上一动点，Q为边上一动点，计算的最小值：
（3）如图3，已知在四边形中，，，，E为边上一个动点，连接，过点D作，垂足为点F，在上截取．试问在四边形内是否存在点P，使得的面积最小？若存在，请你在图中画出点P的位置，并求出的最小面积；若不存在，请说明理由．

3 . 新趋势综合与实践：小新和小颖在学习等腰三角形的相关知识后，明白了要把两腰分散到两个三角形中用全等去思考，寻找或构造两腰为斜边的两个直角三角形全等，再由全等三角形的性质得出结论解决问题，这就是数学中重要的学习方法“构造法”．

【初步感知】
(1)如图1，等腰直角三角形中，小新先得出然后得出了三条线段的数量关系，在此过程中，全等的依据是        ，三条线段的数量关系为_____．
【实践解决】
(2)如图2，四边形中，为等腰直角三角形，若，求的面积．
小颖发现，可以构造以为斜边的两个直角三角形，具体如下：作于点M，交的延长线于点N，请你根据提示，求出的面积．
【拓展应用】
(3)如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

4 . 如图1，与都是等边三角形，边长分别为4和，连接为高，连接，N为的中点．

(1)求证：；
(2)将绕点A旋转，当点E在上时，如图2，与交于点G，连接，求线段的长；
(3)连接，在绕点A旋转过程中，求的最大值．

5 . 如图，正方形ABCD，边长为4，点P和点Q在正方形的边上运动，且PQ＝4，若点P从点B出发沿B→C→D→A的路线向点A运动，到点A停止运动；点Q从点A出发，沿A→B→C→D的路线向点D运动，到达点D停止运动．它们同时出发，且运动速度相同，则在运动过程中PQ的中点O所经过的路径长为_____．

6 . 如图，已知菱形，对角线与相交于点，，，菱形内部有一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，则的最大值（        ）

A．

B．

C．

D．

7 . 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，则点F与点C的最小距离为________．

8 . 如图，已知在中，，，点Q在上，满足，点P在上．若，且，将点P沿对称至M，连接，则的面积为_______．

9 . 如图，已知A、B两点的坐标分别为(-8，0)、(0，8)，点C、F分别是直线x=5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当ABE的面积取得最小值时，tan∠BAD=______．

10 . 如图，抛物线（a为常数，）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．

(1)求a的值；
(2)点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当∠PBA＝∠CBD时，求m的值；
(3)点K为坐标平面内一点，DK＝2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标．

1 . 在平行四边形中，已知，，点为线段上的一点，连接，以线段为直角边构造等腰，交线段于点，连接．
(1)如图，若，，则的长为多少？
(2)如图，若点，分别为线段，的中点，连接，求证：；
(3)如图，在（）的条件下，若，，以点为圆心，为半径作，点为上一点，连接，取的中点，连接，请直接写出线段的取值范围．

2 . 如图，⊙O的直径AB为2，C为⊙O上的一个定点，∠ABC＝30°，动点P从A出发，沿半圆弧向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于点D，连接AD，则线段AD的最大值为 __________________．

3 . 如图，是的直径，，点C为上一点，，点为上一动点，点是的中点，求的最小值．

4 . 综合与实践
某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】
(1)如图①，在正方形中，E，F分别是，上的两点，连接，，于点P，则的值为______；
(2)如图②，在矩形中，，，点E，F分别是，上的两点，连接，，且于点P，则的值为______；
(3)【类比探究】
如图③，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点P，交的延长线于点F，求证：；
(4)【拓展延伸】
如图③，在四边形中，，，，，E为直线上一点，连接，过点C作的垂线交直线于点P，交直线于点F，连接，则的取值范围是______．

5 . 如图，在中，，，点是边上一点，过点作直线的垂线，垂足为点．连接．

(1)如图1，当，时，求的度数；
(2)如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点为边上一点，连接，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，已知，点是直线上一点，连接，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，在射线上取点，连接，使得的面积与面积相等，连接，当取得最大值时，延长交直线于点．将沿着所在直线翻折到所在平面内，得到，连接，当取得最小值时，直接写出的值．

6 . 已知等腰直角与有公共顶点，，，．现将绕点旋转．
(1)如图①，当点，，在同一直线上时，点为的中点，求的长；

(2)如图②，连接，．点为的中点，连接交于点，求证：；

(3)如图③，点为的中点，以为直角边构造等腰，连接，在绕点旋转过程中，当最小时，直接写出的面积．

7 . 如图，矩形中，，．点E在线段上由D向A方向匀速运动，点F在线段上由B向C方向匀速运动．点E与点F同时开始运动，点F的运动速度为点E运动速度的3倍．当点F到达C点时，点E也停止运动．将矩形沿翻折，点C、点D的对应点分别为点P、点Q，连接．在运动过程中，当最小时，的值为__________．

   

8 . [问题提出]
初中数学的学习中，我们学习了“两点之间线段最短”“垂线段最短”等知识……常可利用它们来解决“最值问题”．
[简单运用]

(1)如图1，在△ABC中，AB＝6，∠A＝60°，∠B＝45°，在BC上取一点D，则AD的长的最小值是______．
[综合运用]
(2)如图1，在△ABC中，AB＝6，∠A＝60°，∠B＝45°，在BC、AB、AC．上分别取点D、E、F，使得△DEF的周长最小．画出图形确定D、E、F的位置，并直接写出△DEF的周长的最小值．
[拓展延伸]
(3)图2是由线段AB、线段AC、组成的图形，其中∠A＝60°，AB＝6，AC＝3，为60°，分别在BC、线段AB和线段AC．上取点D、E、F，使得△DEF的周长最小，画出图形确定D、E、F的位置，并直接写出△DEF的周长的最小值．

9 . 如图，在等边中，点在边上，点为延长线上一点，连接，过点作交延长线于点．

（1）如图1，若，，，求的长；
（2）如图2，若，点在的垂直平分线上，点在边上，连接交于点，且，求证：；
（3）如图3，若，，，点、、分别是三边上的动点，当周长取得最小值时，取线段的中点，点为平面内一点，且，连接、，请直接写出的最大值．

10 . 在平面直角坐标系中，二次函数的图像过点和点，与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），且点D与点G关于坐标原点对称．

(1)求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图像上，并说明理由；
(2)若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N恰好都在直线DG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，并说明理由；
(3)若第四象限有一动点E，满足，过E作轴于点F，设F坐标为，，的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．

1 . 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为．

(1)如图①，当点恰好落在上时，点坐标为___________，点的坐标___________；
(2)如图②，当点落在线段上时，交于点，求点的坐标；
(3)若点为线段的中点，连接，取的中点，连接，写出的取值范围（直接写出结果）．

2 . 【问题背景】如图1，P是等边△ABC内一点，∠APB＝150°，则PA²+PB²＝PC²．小刚为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小刚完成辅助线的作图；
【迁移应用】如图2，D是等边△ABC外一点，E为CD上一点，AD∥BE，∠BEC＝120°，求证：△DBE是等边三角形；
【拓展创新】如图3，EF＝6，点C为EF的中点，边长为3的等边△ABC绕着点C在平面内旋转一周，直线AE、BF交于点P，M为PG的中点，EF⊥FG于F，FG＝4，请直接写出MC的最小值．

3 . 在平面直角坐标系中，如图所示，，．点P从点O出发在线段上以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点B出发在线段上以每秒2个单位的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，停止运动,连接．
（1）如图1，连接交于点D，则点D的坐标为________；
（2）如图2，过A作于点H，求的最小值；
（3）如图3，在上取一点M，使得，那么点M的纵坐标是否存在最大值，若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由．

4 . 如图，在中，，，，是外一点，且，是中点，连接，则的最大值为______．

5 . （1）如图①．在边长为5的正方形ABCD中，点E是CD上一点，连接BE，将饶点C顺时针旋转90°得到，延长BE交DF于点G．若，求BG的长；
（2）如图②．一块舞台由线段AB、BC、CD、弧AD围成，其中m，m．m．，弧AD的圆心角为60°．根据舞台装饰要求，现要在舞台内找一定位点P，从点P向点B、C及弧AD上的一点（不妨记为Q）铺设地面LED灯带，已知灯带15元/m，则是否存在这样的点P，使得铺设灯带所需的总费用最小？若存在请求出最小费用；若不存在，请说明理由．

6 . 如图，扇形AOB，且OB=4，∠AOB=90°，C为弧AB上任意一点，过C点作CD⊥OB于点D，设△ODC的内心为E，连接OE、CE，当点C从点B运动到点A时，内心E所经过的路径长为 ________．   

7 . 【问题探究】

(1)如图1，在梯形中，，连接，则      ；（填“”“=”或“<”）
(2)如图2，已知的半径为2，点是上一动点，点是外一定点，连接，取的中点，当点在上运动一圈时，求点运动的路径长；
小明同学进行了探究，他连接，取其中点，他猜想点的运动轨迹应该是以为圆心，1为半径的圆．请你帮小明同学完成求解过程．
【问题解决】
(3)某农业观光园的平面规划示意图如图3所示，在四边形中，，，，，点在边上，且，计划在四边形内修建一口水井，并沿修建三条笔直的灌溉水渠，且满足，在的中点处规划一座有机蔬菜餐厅，观光园的入口设置在边上，出口设置在边上，并沿规划观光小路，在区域种植某种有机蔬菜，为了合理购买蔬菜幼苗的数量，需要知道当取得最小值时，的面积，请你帮助规划人员计算出当取得最小值时，的面积．（水井、餐厅、出入口的大小以及水渠和小路的宽度均忽略不计）

8 . 综合探究

【直接运用】
(1)如图1，在中，，，以为直径的半圆交于D，P是弧上的一个动点，连接，则的最小值是           ；
【构造运用】
(2)如图2，在平行四边形中，，，，点F、点N分别为、的中点，点E在边上运动，将沿折叠，使得点D落在处，连接，点M为中点，求的最小值；
【灵活运用】
(3)如图3，已知正方形的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点C和D运动，连接和交于点P，求点P到点C的最短距离，并说明理由．

9 . 问题发现：
（1）正方形ABCD和正方形AEFG如图①放置，AB＝4，AE＝2.5，则＝___________．
问题探究：
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在矩形的内部，∠BPC＝135°，求AP长的最小值．
问题拓展：
（3）如图③，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝45°，则对角线BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

10 . 如图，在等腰Rt∆ABC中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（         ）

A．

B．2

C．

D．4

1 . 如图，已知正方形ABCD的边长为4、点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG、顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP＝1，则AE＝　       ；
（2）①点O与△APE的位置关系是　 　，并说明理由；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，线段AE的大小也在改变，当AP＝　      ，AE达到最大值，最大值是　      ．

2 . 【问题背景】通过轴对称的性质，我们可知：对称轴上的任意一点到对称点的距离相等．利用这个结论，我们可以找到任意一对成轴对称关系的图形的对称轴．

(1)【操作】如图①，点和点关于直线l对称，请利用直尺和圆规作出直线l（保留作图痕迹，不必写作法），并在直线l上取一点P（点P不与点、点共线）、连结线段和线段，直接写出和的数量关系：______；
(2)【探究】如图②，在矩形中，，，分别为边上的动点，且，将右侧的矩形沿所在直线进行翻折，的对应边记为，连接．交于点G，试判断与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展】如图③，在【探究】的条件下，连结，点在运动过程中，直接写出的最小值．

3 . 如图，，点M是线段的中点，线段绕点A旋转得到线段，连接，以为斜边在的上方作，使，连接，则的最大值_____．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点、，顶点为，连接、．点在线段上，作射线，过点作射线，垂足为点，以点为旋转中心把按逆时针方向旋转到，连接．

(1)求点、的坐标．
(2)随着点在线段上运动．
①连接，的大小是否发生变化？请说明理由；
②延长交于点，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
(3)连接，当点在该抛物线的对称轴上时，的面积为           ．

5 . 如图：

(1)问题发现：如图①，点为平面内一动点，且，（），则的最小值为______，的最大值为______；
(2)方法运用：在四边形中，，点是上方的动点，且，，．
①如图2，当时，求线段的最大值．
②如图3，当时，用含式子表示线段的最大值．

6 . 如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，点F在正方形内，且，且，则线段的长的最小值是________．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，有一条长为10的线段AB，其端点A、点B分别在y轴、x轴上滑动，点C为以AB为直径的⊙D上一点（C始终在第一象限），且tan∠BAC=．则当点A从A₀（0，10）滑动到O（0，0），B从O（0，0）滑动到B₀（10，0）的过程中，点C运动的路径长为_____．

8 . 在中，，，点D为线段上一动点，连接．

(1)如图1，若，，求线段的长．
(2)如图2，以为边在上方作等边，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G ．若 ，求证∶ ．
(3)在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点M为所在直线上一点，将 沿所在直线翻折至所在平面内得到 ．连接，点P为的中点，连接，当取最大值时，连接，将 沿所在直线翻折至所在平面内得到 ，请直接写出此时的值．

9 . 【问题提出】

(1)如图①，四边形 是平行四边形，M是边 上一定点，过点M作一条直线，使其将平行四边形 分成面积相等的两部分；
(2)如图②，在 中， ， ， ，D为 上一动点，连接 ，以 为直径的 交 于点E，求 的最小值；
(3)【问题解决】
如图③，某市政部门规划一块休闲绿地四边形 ，经实地勘测， ， ， ， ， ．现计划在绿地的边 ， 上分别选取点E，F，沿线段 铺设一条步道，并在步道旁安装景观照明灯，要求步道 恰好把整块绿地划分为面积相等的两部分．从点A向步道 作垂线，垂足为G，从点D预埋电缆接引电源至点G．受施工造价管控，需使电缆用料成本尽可能低，求电缆 长度的最小值．

10 . 根据题目条件，解答下列问题

(1)如图，在中，C是上任意一点，若的半径为2，点O到的距离为5，则C到直线距离的最小值为________．
(2)如图，在矩形 中， ，，P为 上一点，，求长；
(3)如图，某城市有一块四边形空地 ，经测量， ， 米， 米， 米．城市规划部门准备把它建造成一个城市花园，为开放型入口，为了保证安全，设计师想在边上安装一个摄像头P，摄像头的观测角度为（即 ），同时，计划在花园内划定景观用地 ，其中，E是步道 上一点，F是步道上一点，连接，且 米，Q是线段的中点，连接、 ，为了控制建设成本，请帮助规划部门求出景观用地 面积的最小值．

1 . 如图，点为正方形边上的一动点（不与点、点重合）将正方形纸片折叠，折痕为，使点落在处，点落在处，交于，连接，，与交于点．

(1)求证：；
(2)探究，的数量关系，并证明；
(3)当面积最大时，请直接写出的值．