K字型相似 - 初中数学 - 困难

1 . 如图，在正方形中，点在边上（不与点B、C重合），点E在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（     ）

A．①②③⑤

B．①②④⑤

C．①②③④

D．①③④⑤

2 . 已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，点B，C，E都在同一直线上，且△ABC和△DCE在该直线同侧．

（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
（2）如图②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系；
（3）如图③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系（用含α的式子表示）．

3 . 【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．

4 . 如图1为正方形和正方形，连接．

(1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由；
(2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由；
(3)[应用]：在（2）问的情况下，连接（点在上方），若，且，，求的长．

5 . （1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：．
（2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长．
（3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长．

6 . 如图，，，E是上一点，使得；

(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由．

7 . 在半圆中作矩形，点C、D在圆弧上，点E在上，点F在上．连接交于点G，连接．若，则半圆的半径长为___________．

8 . 已知的直角顶点与原点重合，点，都落在抛物线上，则与轴的交点为________；若于点，则点到点的最大距离为________．

9 . 如图，在菱形中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F．

（1）当时，
①求证：；
②连结，若，求的值；
（2）当时，延长交射线于点M，延长交射线于点N，连结，若，则当为何值时，是等腰三角形．

10 . 如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为______．

1 . （1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为     ．

（2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积．

（3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q．

(1)当时，求证：．
(2)探究线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径=________，△CEF面积的最小值是 ________．

4 . 【问题情景】
（1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________；
【变式探究】
（2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长；
【拓展应用】
（3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值．

5 . 如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x．

(1)___________；当时，求的值；
(2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
(3)当是等腰三角形时，请求出的值．

6 . 如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线相交于点A、B（点A在点B的左侧）．
（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为-3、，求线段AB中点P的坐标；
（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；
（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为，求y关于x的函数解析式；
（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．

7 . 如图，在中，点E、F分别在边上．，，若E、F分别是中点，则__________；若，，则__________．

8 . 在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．

   

(1)如图1，求证：；
(2)如图1，当时，求的长；
(3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长．

9 . 如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接．

(1)求证：；
(2)当时，的面积为          ；
(3)当为等腰直角三角形时，求线段的长；
(4)作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值．

10 . 如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．

求证：；
连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．

1 . 如图，将反比例函数 的图象沿直线向下翻折，翻折后的图象与轴交于点，点在该反比例函数图象上，以为边在上方作正方形，点恰好落在轴上，已知点的纵坐标为2，

(1)求的值．
(2)设边与反比例函数 的图象的交点为，求点的坐标．

2 . 如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形内放一个Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角顶点D在半径OB上，OD＝2DB，点E在半径OA上，点F在弧上．则半径OA的长为（     ）

A．

B．2

C．

D．

3 . 在中与中，，，将绕点顺时针旋转，连接，点分别是的中点，连接．

（1）观察猜想
如图1，当点与点重合时，与的数量关系是__________，位置关系是__________；
（2）类比探究
当点与点不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由．
（3）问题解决在旋转过程中，请直接写出的面积的最大值与最小值．

4 . 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，，的面积为2．

(1)如图1，求直线的解析式．
(2)如图2，线段上有一点C，直线为，轴，将绕点B顺时针旋转，交于点D，求点D的坐标．（用含k的式子表示）
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，交直线于点E，若，求点E的坐标．

5 . 如图，已知边长为10的正方形是边上一动点（与不重合），连结是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若．
（1）求证：；
（2）若，求的面积；
（3）请直接写出为何值时，的面积最大．

6 . 在平面直角坐标系中，记二次函数的图象的顶点为，其图象上存在，两点，使得，则称该函数为“垂动点函数”，其中一个点叫做另一个点的“垂动点”．已知函数（m为实数）．
(1)当时，随着的增大而增大，点，都在该函数图象上，求的最大值；
(2)若，“垂动点函数”图象的顶点为，点在“垂动点函数”的图象上，点的“垂动点”是点．
①求证：直线过定点；
②求的外接圆的圆心到直线的距离的最小值．

7 . 如图，边长为10的等边中，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接．当时，长为（　　）
   

A．6

B．

C．10

D．6

8 . 在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片，点E在射线上，现将矩形折叠，折痕为，点A的对应点记为点F．

   

(1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形的边上，直接写出一个与相似的三角形；
(2)深入探究：如图2，若点F落在矩形的边的下方时，、分别交于点M、N，过点F作，，垂足分别为点G、H，当点G是的中点时，试判断与是否相似，并证明你的结论；
(3)问题解决：在（2）的条件下，若，，求的长．

9 . 研究抛物线的性质时，将一个直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A，B两点（如图），将三角板绕点O旋转任意角度时发现，交点A，B所连线段总经过一个固定的点，则该定点的坐标是_____．

10 . 如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（       ）

A．

B．

C．

D．

1 . 给出如下新定义：在平面直角坐标系中，动点在反比例函数上，若点绕着点旋转后得到点，我们称是关于的“伴随点”．若关于的“伴随点”为，由和坐标原点构成的三角形是以为直角边的等腰直角三角形，则的值是______．

2 . 如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝_____．

3 . 某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中，如图1，进行了如下操作：

第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2；
第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；
第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；
(1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___；
(2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
②当时，连接DG，请直接写出___；
(3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当时，求AM的长．

4 . 如图，二次函数与轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，且，∠BAC的角平分线交于点D，过D点的直线与射线AB，AC分别交于E，F．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，证明：当直线绕点D旋转时，为定值，并求出该定值；
（3）如图2，在第一象限的抛物线存在点P，使得，请求出点P的坐标．

5 . 如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（       ）

A．－6

B．－12

C．－18

D．－24

6 . 如图，点是正两边上的点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，当时，的值是（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 如图1，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数图象上，连接、、．若，设的长为m，的面积为n，n与m的函数图象如图2所示，则图中点P的横坐标为（     ）

A．1

B．2

C．

D．

8 . 如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．
（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；
（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；
（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．

9 . 如图，抛物线y=﹣x²+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．
①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．

10 . 如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．
（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长
（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时，
①求证：EF＝EG；
②求AF的长．
（3）如图3，当折痕的另一端F在AD边上，B点的对应点E在长方形内部，E到AD的距离为2cm，且BG＝10时，求AF的长．

1 . 如图，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣n）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为5．动点P从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B运动，过P作PN⊥x轴交BC于M，交抛物线于N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当MN最大时，求运动的时间；
（3）经过多长时间，点N到点B、点C的距离相等？

       

2 . 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-交x轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1，连接BC交y轴于点D．

(1)如图1，求点D的坐标；
(2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点P作PG⊥x轴于G，点E在线段PG上，连接AE，过点E作EF⊥AE交线段DB于F，若EF=AE，设点P的横坐标为t，线段PE的长为d，求d与t的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点H在线段OB上，连接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=，求点P的坐标．

3 . 在平面直角坐标系中，点到直线的距离即为点到直线的垂线段的长．

（1）如图1，取点M（1，0），则点M到直线l：y＝x﹣1的距离为多少？
（2）如图2，点P是反比例函数y＝在第一象限上的一个点，过点P分别作PM⊥x轴，作PN⊥y轴，记P到直线MN的距离为d₀，问是否存在点P，使d₀＝？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）如图3，若直线y＝kx+m与抛物线y＝x²﹣4x相交于x轴上方两点A、B（A在B的左边）．且∠AOB＝90°，求点P（2，0）到直线y＝kx+m的距离最大时，直线y＝kx+m的解析式．

4 . 有一边是另一边的倍的三角形叫做幸运三角形，这两边中较长边称为幸运边，这两边的夹角叫做幸运角．如图，是幸运三角形，为幸运边，为幸运角，，点B，C在反比例函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当是直角三角形且时，则k的值为_______．

5 . 如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，将沿折叠使点落在点，连接并延长交于点，连接．若是以为腰的等腰三角形，则的长为________．

6 . 在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．

（1）如图1，若，求的值；
（2）如图2，在线段上取一点，使平分，延长，交于点，若，求的值．

7 . 如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点，则的长是______．

8 . 已知四边形是矩形．
（1）如图1，分别是上的点，垂直平分，垂足为，连接．
①求证：；
②若，求的大小；

（2）如图2，，分别是上的点，垂直平分，点是的中点，连接，若，直接写出的长．

9 . 如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，折痕为EF，点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′，点B′落在边CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，则EF的长为（　　）

   

A．

B．

C．

D．

10 . 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，cosB．动点D从点A出发沿着射线AC的方向以每秒1cm的速度移动，动点E从点B出发沿着射线BA的方向以每秒2cm的速度移动．已知点D和点E同时出发，设它们运动的时间为t秒．联结BD．
（1）当AD=AB时，求tan∠ABD的值；
（2）以A为圆心，AD为半径画⊙A；以点B为圆心、BE为半径画⊙B．讨论⊙A与⊙B的位置关系，并写出相对应的t的值．
（3）当△BDE为直角三角形时，直接写出tan∠CBD的值．

1 . 如图，等边的边长为，点是边上一动点，将等边沿过点的直线折叠，该直线与直线交于点，使点落在直线上的点处，且折痕为则的长为______．

2 . 如图，经过原点的抛物线与直线交于，两点，其对称轴是直线，抛物线与轴的另一个交点为，线段与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式，并写出点的坐标；
（2）若点为线段上一点，且，点为线段上不与端点重合的动点，连接，过点作直线的垂线交轴于点，连接，探究在点运动过程中，线段，有何数量关系？并证明所探究的结论；
（3）设抛物线顶点为，求当为何值时，为等腰三角形？

3 . 如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点，重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（       ）

A．

B．

C．

D．2

4 . 已知：如图，四边形中，，，，平分．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果点在对角线上，联结并延长，交边于点，交线段的延长线于点（点可与点重合），，设长度是是常数，且，，，求关于的函数关系式，并写出定义域；
（3）在第（2）小题的条件下，当是等腰三角形时，求的长（计算结果用含的代数式表示）

5 . 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，点在轴上，且．是该抛物线上的动点，连结、，与交于点．

   

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）设点的横坐标为
①求的面积的最大值；
②在对称轴上找一点，使四边形是平行四边形，求点的坐标；
③抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，求点的坐标，并判断此时的形状．

6 . 如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，则下列结论：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正确的个数是（       ）

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

7 . 如图，在中，．动点从点出发沿着射线的方向以每秒1cm的速度移动，动点从点出发沿着射线的方向以每秒2cm的速度移动．已知点和点同时出发，设它们运动的时间为秒．连接．下列结论正确的有（ ）个

①；
②当时，；
③以点为圆心、为半径画，当时，与相切；
④当时，．

A．

B．

C．

D．

8 . 如图所示，已知等边△ABC，边长为3，点M为AB边上一点，且，点N为边AC上不与A、C重合的一个动点，连结MN，以MN为对称轴，折叠△AMN，点A的对应点为点P，当点P落在等边△ABC的边上时，AN的长为__________．

9 . 如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 问题提出：
（1）如图①，矩形ABCD中，AD＝6．点E为AD的中点．点F在AB上，过点E作EGAB交FC于点G．若EG＝7．则S_△EFC＝　 　．
问题探究：
（2）如图②．已知矩形ABCD纸片中．AB＝9，AD＝6，点P是CD边上一动点．点Q是BC的中点．将△ADP沿着AP折叠，在纸片上点D的对应点是，将△QCP沿着PQ折叠．在纸片上点C的对应点是．请问是否存在这样的点P．使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时DP的长度．若不存在，请说明理由．
问题解决：
（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务．部件要求：如图③，四边形ABCD中，AB＝4厘米，点C到AB的距离为5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低，已知这种金属材料每平方厘米造价50元．请问这种四边形金属部件每个的造价最低是多少元？（≈1.73）

1 . 如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与点C和点重合），连接PB，过点P作交射线DA于点F，连接BF． 已知AD=3，CD=3，设CP的长为x，

（1）线段的最小值              ，当x=1时，             ；
（2）如图，当动点运动到AC的中点时，与的交点为G，的中点为，求线段GH的长度；
（3）当点在运动的过程中，
①试探究是否会发生变化？若不改变，请求出大小；若改变，请说明理由；
②当为何值时，是等腰三角形？

2 . 定义：有两个相邻内角互余的凸四边形称为互余四边形，这两个角的夹边称为互余线．

（1）在ΔABC中，AB=AC，AD是ΔABC的角平分线，E、F分别是BD，AD上的点，求证：四边形ABEF是互余四边形；
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的互余四边形ABEF，使AB是互余线，E、F在格点上；
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N，若N为AC的中点，DE=2BE，如互余线AB=10，求BQ的长．

3 . 在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．
（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，求证四边形ACEC′是菱形；
（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，当α与∠BAC满足什么数量关系时，得到如图3所示的四边形BCC′D是矩形，请说明理由；
（3）缜密小组在创样报小组发现结论的基础上，量得图3中BC＝13cm，AC＝10cm，求BD的长．

4 . 在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．
（1）如图，若点在线段上运动，交于．

①求证：；
②当是等腰三角形时，求的长；
（2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由；

（3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由．

5 . 在平面直角坐标系xOy中，直线与轴、轴分别交于点A、B，与直线相交于点C.
(1)直接写出点C的坐标；
(2)如图，现将直角∠FCE绕直角顶点C旋转，旋转时始终保持直角边CF与轴、轴分别交于点F、点D，直角边CE与轴交于点E.
①在直角∠FCE旋转过程中，的值是否会发生变化?若改变，请说明理由；若不变，请求出这个值.
②在直角∠FCE旋转过程中，是否存在以C、E、F为顶点的三角形与△ODE相似?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

6 . 如图，正方形的边长为2，点O是坐标系的原点，点B在x轴负半轴上，点D在y轴正半轴上，点C为的中点，直线交x轴于点F．

（1）求直线的函数关系式；
（2）过点C作且交x轴于点E，求证：；
（3）求点E坐标；
（4）点P是直线上的一个动点，求的最小值．

7 . 如图，点是双曲线在第一象限分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点，以为边作等边，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断变化，但点始终在双曲线上运动，则的值为（   ）

   

A．

B．

C．

D．

8 . 如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？

9 . 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax²-2ax-3a交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接BC，且OB=OC．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，D为第一象限内抛物线上一点，过D作DT⊥x轴交x轴于T，交BC于点K，设D点横坐标为m，线段DK的长为d，求d与m之间的关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，D在对称轴右侧，Q、H为直线DT上点，Q点纵坐标为4，H在第四象限内，且QD=TH，过D作x轴的平行线交抛物线于点E，连接EQ交抛物线于点R，连接RH，tan∠ERH=2，求点D的坐标．

10 . 图2、图3是起重机平移物体示意图．在固定机架BAM中，AB＝5m，tan∠BAM＝．吊杆BCE由伸缩杆BC与6m长的直杆CE组成，在机架BAM与直杆CE间有一根9m长的支撑杆AD，且CD＝2m．假设起重机吊起物体准备平移时，点E、C、B恰好在同一水平线上（图2），在物体平移过程中始终保持EB∥AM（AM处在水平位置）．
（1）如图2，当准备平移物体时，伸缩杆BC＝_____m．
（2）在物体沿EB方向平移过程中，当∠ADE＝60°时，物体被平移的距离为_____m．

1 . 已知抛物线与直线交于，B两点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线AB交轴于点D，且，求点B的坐标；
（3）如图2，当时，在x轴上有且只有一点P，使，求k的值．

2 . 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，D、E分别为边AB、AC的中点，连接DE，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线AD﹣DE﹣EA向终点A运动，过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段QC上，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜12）．
（1）当点P在线段EA上运动时，求线段PE的长（用含t的代数式表示）．
（2）当点N落在AC边上时，求t的值．
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式．
（4）当点N与点E不重合时，作直线NE，直接写出直线NE将△ABC分成的两部分图形的面积比为1：2时t的值．

3 . 抛物线的对称轴为，与x轴交于点A（4，0）和点B，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是抛物线的顶点，点E为抛物线对称轴上一点，点Q为抛物线对称轴右侧上一点，若△BOC与△DEQ相似，求点Q的坐标；
（3）点P是直线y＝5上的动点（点P不在抛物线的对称轴上），过点P的两条直线与抛物线均只有唯一公共点且都不与y轴平行，分别交抛物线的对称轴于点M、N，点G为抛物线对称轴上点M、N下方一点，若恒有GP²＝GM·GN，求点G的坐标．

4 . 如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的高，连接DE．
（1）求证：△ADB∽△AEC；
（2）若sin∠BAC=，BC=，求DE的长．

   

5 . 如图，在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，连接BE，作CF⊥BE分别交BE于点G，AB于点F．
（1）如图1，若CF恰好平分∠BCA，求证：△CGE≌△CGB；
（2）如图2，若＝，取BC的中点H，连接AH交BE于点P，求证：
①AH＝3AP；
②BH²＝BF•BA．

6 . 如图1，D是△ABC内任意一点，连接AD，DB，分别以AD，DB为边作△ADE（AE在AD的左侧）和△DBF（BF在BD的右侧），使得△ADE∽△ABC，△DBF∽△ABC，连接CE，CF．
（1）求证：△CBF∽△ABD；
（2）如图2，DF，BC交于点G，若∠CAB＝90°，点E，D，B共线，其他条件不变，
①判断四边形CEDF的形状，并说明理由；
②当，AB＝4，且四边形CEDF是正方形时，直接写出FG的长．

7 . 已知正方形的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边、的延长线交于点E、F，连接．设．

（1）如图1，当被对角线平分时，求a、b的值；
（2）当是直角三角形时，求a、b的值；
（3）如图3，探索绕点A旋转的过程中，的面积是否发生变化？请说明理由．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，以直线x=1为对称轴的抛物线与直线交于A(4，1)，B两点，与y轴交于C(0，－1)，直线与抛物线对称轴l交于点D．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若AD：BD=3：5，求直线AB的关系式；
（3）在（2）的条件下，在直线AB下方的抛物线上求点P的坐标，使△ABP的面积等于4；
（4）在（2）的条件下，在对称轴上求点Q，使得△ABQ是直角三角形．
　　

9 . 如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝8cm，BC＝3cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动．
（1）问几秒后，PQD的面积为6？
（2）问几秒后，点P和点Q的距离是5cm？
（3）问几秒后，以三点P、Q、D为顶点的三角形为直角三角形？
（提示：根据不同情况画出不同的图形，再给予解决问题．此题包括从开始到结束的所有情况）

10 . 如图，已知二次函数的图象与轴分别交于两点，与轴交于点，点在抛物线的对称轴上，且四边形为平行四边形．
（1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的表达式；
（2）点为轴下方抛物线上一点，若的面积为12，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，点是抛物线的对称轴上一动点且在轴上方，连接，过点作的垂线交抛物线于点，当时，求点到抛物线的对称轴的距离．
   

1 . 【问题情境】如图①，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.易知BE与CF的数量关系         ．
【探索发现】如图②，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．
【类比迁移】如图③，在等边中，，点是中点，点是射线上一点（不与点、重合），将射线绕点逆时针旋转交于点．当时，______．

2 . 问题提出
（1）如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，过点E作交于点G．若，则的面积为_________．

问题探究
（2）如图2，在矩形中，，点P是边上一动点，点Q是的中点将．沿着折叠，点A的对应点是，将沿着折叠，点D的对应点是．请问是否存在这样的点P，使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形中，，点D到的距离为，且．若过点D作，过点A作的垂线，交于点E，交的延长线于点H，过点C作于点F，连接．设的长为，四边形的面积为．
①根据题意求出y与x之间的函数关系式；
②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用．

3 . 如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，AB=8，BC=10，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在边上的点D处，
（1）求AE的长；
（2）如图2，将∠CDE绕着点D逆时针旋转一定的角度，使角的一边DE刚好经过点B，另一边与y轴交于点F，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在一点P，使以点C、D、F、P为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请通过计算说明理由．

4 . 关于x的方程①和一元二次方程②中，k，m均为实数，方程①的根为非负数．

（1）求k的取值范围；
（2）当k为最小整数时，方程②有两根分别为和，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若直线y=kx+1与x轴，y轴分别交于点A，B，点C是双曲线在第一象限图像上一动点，作CD⊥y轴交线段AB于点E，作CF⊥x轴交线段AB于点G，坐标原点为O．按要求补全图形并完成：
①BG·AE＝___________；
②求∠EOG的度数．

5 . 如图，矩形ABCD中，E为AD边上一点（不与点A、D重合），EF⊥BE交CD于点F．

   

（1）求证：EA·ED＝AB·DF；
（2）若BE平分∠ABD，点G为BC中点，AG交BE于点K，H为AB边上一点，∠BEH＝45°，BD交EF于点J，当＝时，求；

   

（3）若AB＝BC，点K为线段BE的三等分点（BK＜EK），点J为射线EF上一点，且EK＝EJ，当＝_________时（直接写结果），tan∠DJE＝．

   

6 . 在中，，，．
（1）如图1，折叠使点落在边上的点D处，折痕交、分别于、，若，则＿＿＿．

（2）如图2，折叠使点落在边上的点处，折痕交、分别于、．若，求证：四边形是菱形．
（3）如图3，在（1）（2）的条件下，线段上是否存在点，使得和相似？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

7 . 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，顶点为．

（1）求此函数的关系式；
（2）在下方的抛物线上有一点，过点作直线轴，交与点，当点坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？
（3）在对称轴上有一点，在抛物线上有一点，若使，，，为顶点形成平行四边形，求出，点的坐标．
（4）在轴上是否存在一点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

8 . 将一副三角尺如图①摆放，在中，；在中，，点为的中点，交于点，经过点．
（1）求的度数；
（2）如图②，将绕点顺时针方向旋转角（），此时的等腰直角三角尺记为，交于点，交于点，试判断的值是否随着的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．

9 . 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x²＋bx．
（1）求抛物线顶点Q的坐标(用含b的代数式表示)；
（2）抛物线与x轴只有一个公共点，经过点(0，2)的直线y＝kx＋n(k<0)与抛物线交于点A，B(点A在点B的左侧)，与x轴交于点C．
①判断△AOB的形状，并说明理由；
②已知F(2，0)，G(4，0)，当点C在线段FG上时，求△AOB的面积的取值范围．

10 . 如图， AB是⊙O的直径， ⊙O过AC的中点D， DE⊥BC于点E，连接BD．
（1） 求证： AB = BC；
（2） 求证：DE•AB = AD•BD．

1 . 如图，抛物线过点和点，其顶点为点C，连接AB，点D在抛物线上A、C两点之间，过点D作轴，垂足为点F，DF与AB交于点E．

（1）求此拋物线的解析式．
（2）连接AD、BD，设的面积为S，点D的横坐标为m，求S关于m的函数关系式并求出S的最大值．
（3）点M在坐标轴上，试探究平面内是否存在点N，使点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 已知抛物线W₁与y轴交于点C，其关于x轴对称的抛物线为W₂：y＝x²-mx+n，且W₂经过点A（-3，0）和点B（1，0）．
（1）求抛物线W₁的解析式；
（2）将抛物线W₁沿x轴向右平移得到抛物线W₃，抛物线W₃与x轴的交点记为点D和点E（D在E的右侧），与y轴交于点Q，如果满足△AOC与△DOQ相似，请求出平移后抛物线W₃的表达式．

3 . 如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD的中点，直角∠GEF的两直角边EF、EG分别交CD、BC于点F、G．
（1）若点F是边CD的中点，求EG的长．
（2）当直角∠GEF绕直角顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC交于点F、G．∠EFG的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠EFG的值．
（3）当直角∠GEF绕顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC所在的直线交于点F、G．在图2中画出图形，并判断∠EFG的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请直接写出tan∠EFG的值．
（4）如图3，连接CE交FG于点H，若，请求出CF的长．

4 . 如图，ACM中，ABC、BDE和DFG是等边三角形，点E、G在ACM边CM上，设ABC，BDE和DFG的面积分别为S₁、S₂、S₃，若S₁=8，S₃=2，S₂=________．

5 . 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．
（1）求证：△AFG∽△DFC；
（2）若正方形ABCD的边长为8，AE＝2，求⊙O的半径．

6 . 在△ABC与△ABD中，∠DBA＝∠CAB，AC与BD交于点F

（1）如图1，若∠DAF＝∠CBF，求证：AD＝BC；
（2）如图2，∠D＝135°，∠C＝45°，AD＝2，AC＝4，求BD的长．
（3）如图3，若∠DBA＝18°，∠D＝108°，∠C＝72°，AD＝1，直接写出DB的长．

7 . 经过原点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于O，A两点．
（1）若抛物线的对称轴为直线x=2，点C(6，-6)在抛物线上．
①直接写出抛物线的解析式；
②如图1，B为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，在抛物线上取点E，使∠EOB=∠CBD，求E点的坐标．
（2）如图2，若A点的坐标为(4，0)，a＞0，P为抛物线上第四象限内的一点，过点P作PN⊥x轴于点N，过点N作直线MN//AP交y轴于点M，求证：直线PM与抛物线只有唯一的公共点．

8 . 如图，的一边经过的圆心，另一边与交于点，作的平分线与交于点，过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：
（2）若．
①若，则的长为______；
②的最大值为______．

9 . 矩形中，（其中）
（1）点，分别在边，上，；
①如图，若，且点是中点，求证；
②如图，若，且，求证：；
（2）如图，当，时，点以的速度从到，点以的速度从到，当点到时两点都停止运动，则点的运动时间为多少时，的面积最小，最小面积为多少？

10 . 在正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P．
（1）求PD的长；
（2）点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝，求CE的长．

   

1 . 如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．
（1）求证：AB·AF＝CB·CD；
（2）已知AB＝15 cm，BC＝9 cm，P是射线DE上的动点．设DP＝x cm（），四边形BCDP的面积为y cm²．
①求y关于x的函数关系式；
②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．

2 . 如图，在中，点在边上，，分别过点，作，的平行线，并交于点，且的延长线交于点，．

（1）求证：．
（2）求证：四边形为菱形．
（3）若，，求四边形的面积．

3 . 如图，直线与轴交于点，与轴交于点（点与点不重合），抛物线经过点，抛物线的顶点为．

（1）         °；
（2）求的值；
（3）在抛物线上是否存在点，能够使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

4 . 如图1，直线与y轴相交于点A，抛物线也经过点A，其顶点为B．将该抛物线沿直线l平移使顶点B落在直线l上的点D处，点D的横坐标为．

   

（1）求点B坐标；
（2）求平移后的抛物线的解析式（用含n的式子表示）；
（3）若平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，且点C的横坐标为a．
①请求出a关于n的函数关系式；
②如图2，连接、，若，求a的值．

5 . 如图，点在线段上，点、在同侧，，，．若，，点为线段上的动点，连结，作，交直线于点．

（1）当点与，两点不重合时，求的值；
（2）当点从点运动到的中点时，求线段的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）

6 . 在⊙O中，弦，点P是所对弧上的一个动点，连接、．

   

（1）如图1，把绕点A逆时针旋转到的位置，求证：点P、C、Q在同一条直线上；
（2）如图2，若，求证：；
（3）如图3，若，（2）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并加以说明；
（4）如图4，若，请你直接写出、、之间的数量关系，不必证明．

7 . 定义：若一个四边形的对角线互相垂直，且较长对角线的长度是较短对角线长度的2倍，则称这个四边形为“倍垂四边形”．
（1）如图①，在菱形中，对角线与相交于点O，，试判断菱形是否为“倍垂四边形”，并说明理由；

（2）如图②，在中，，作于点O，问在射线上是否存在着一点D，使得四边形是“倍垂四边形”．若存在，请求出此时线段的长；若不存在，请说明理由；

（3）如图③，在中，，且，分别以的斜边和直角边为边向外作和，且，连接，当四边形是“倍垂四边形”时，求的长．