K字型相似 - 初中数学 - 适中

1 . 如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．

   

(1)证明：；
(2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．

2 . （1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．

3 . 如图，在中，，点分别在边上，．

(1)求证：；
(2)如果，，，求的长．

4 . 在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 如图，菱形ABCD的四个顶点分别在双曲线y＝和y＝上，且对角线相交于原点O，BD＝2AC．平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，则OEF的面积为_____．

6 . 在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
（1）如图1，若，求的度数；

（2）如图2，当，且时，求的长；

（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值．

7 . （1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______；
（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．

8 . 如图，已知，在矩形中，，分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（）的图象与边交于点E，将沿对折后，C点恰好落在上的点D处，则k的值为________．

9 . 如图，平面直角坐标系中，矩形的边，点，分别在轴，轴上，反比例函数的图象经过点，则值为（       ）

A．

B．

C．7

D．9

10 . 如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．

(1)求证：；
(2)求的值．

1 . 如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（       ）

A．

B．

C．

D．

2 . 如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF=____．

3 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．

4 . 等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．

(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；
(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．

5 . 如图，点为⊙外一点，过点作的切线、，点、为切点．连接并延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点．已知，，则的长为________．

6 . 如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，tan∠AEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（　　）

A．或

B．或

C．或

D．或

7 . 如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F．

(1)求证：；
(2)连接BF，若，试确定点E的位置并说明理由．

8 . 如图在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（        ）

A．

B．1

C．

D．2

9 . 如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．求的长度．

   

10 . 如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=﹣x²+6x+3交y轴于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于点B，连结OB．点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q．
（1）求AB的长；
（2）当∠APQ=∠B时，求点P的坐标；
（3）当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点P的坐标．

1 . 如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．

(1)求证：△AEF∽△DCE；
(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．

2 . 如图所示，在中，，，E，D分别是，上的点，且．求证：．

3 . 在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是______．

4 . 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠CBD的平分线BG交AC于E，交CD于F，且DG⊥BG．

（1）求证：BF＝2DG；
（2）若BE＝，求BF的长．

5 . （1）正方形中，对角线与相交于点O，如图1，请直接猜想并写出与之间的数量关系：       ；
（2）如图2，将（1）中的绕点B逆时针旋转得到，连接，请猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，矩形和有公共顶点，且，则       ．

6 . 已知是等边三角形，，点D，E，F点分别在边上，，同时平分和，则的长为_____．

7 . 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________

8 . 在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．

（1）求证：；
（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长．

9 . 矩形中，，分别以 所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E．

(1)当点F运动到边的中点时，点E的坐标为　     ．
(2)连接，求的正切值；
(3)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求的长度．

10 . 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（        ）

A．5

B．6

C．7

D．8

1 . 直线l₁∥l₂∥l₃，且l₁与l₂的距离为1，l₂与l₃的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l₂交于点D，则线段BD的长度为

A．

B．

C．

D．

2 . 如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE=4，则AF的长为（     ）

A．

B．4

C．3

D．2

3 . 如图①，在等边三角形ABC中，点D是边BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边向右作等边△ADE，边DE与AC相交于点F，设BD＝x，CF＝y，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为（　　）

A．3

B．

C．

D．

4 . 如图，已知D是等边边AB上的一点，现将折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．如果，则的值为______．
   

5 . 如图，中，，，，半径为的与，相切，当沿边平移至与相切时，则平移的距离为（       ）

   

A．

B．

C．

D．

6 . 在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC=___________．（结果保留根号）

7 . 如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°．
（1）求证：；
（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长．

8 . 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为_____．

9 . 如图，点分别在反比例函数的图象上．若，，则a的值为（          ）

A．

B．

C．4

D．2

10 . 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点(与点A、D不重合)，∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G、交CD于点M．
（1）如图1，联结BD，求证：，并写出的值；
（2）联结EG，如图2，若设，求y关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当M为边DC的三等分点时，求的面积．

1 . 如图，正方形ABCD边长为4，边BC上有一点E，以DE为边作矩形EDFG，使FG过点A，则矩形EDFG的面积是（　　）

   

A．16

B．8

C．8

D．16

2 . 如图，是直角三角形，，，点A在反比例函数的图象上．若点B在反比例函数 的图象上，则k的值为______

3 . 如图，在中，，过点任作一直线，过点作于点，过点作于点．
（1）指出图中的一对相似三角形并证明；
（2）当时，需添加一个条件，这个条件可以是___ (只要求写出一种情况即可)

4 . 如图．在等边中．为的中点分别是边上的动点．且．

爱钻研的小峰同学发现，可以通过几何与函数相结合的方法根据以上条件来探究一些问题．
探究过程：
（1）用几何的方法，可得出和满足的等量关系为________ ， 并说明理由；
（2）设，则与之间的函数解析式为_______ ， 自变量的取值范围为____；
（3）在平面直角坐标系中，根据已有的经验画出与的函数图象，请在图2中完成画图．

解决问题：
（4）是否存在的值，使得?请利用中的函数图象进行说明．

5 . 如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，，AB=2BC则点的坐标是（   ）

   

A．

B．

C．

D．

6 . 已知在中，，，，为边上的一点．过点作射线，分别交边、于点、．
（1）当为的中点，且、时，如图1，_______：
（2）若为的中点，将绕点旋转到图2位置时，_______；
（3）若改变点到图3的位置，且时，求的值．

7 . 如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M，若∠AFG＝∠ACD．

（1）求证：①△MFC∽△MCA；
②若AB＝5，AC＝8，求的值．
（2）若DM＝CM＝2，AD＝3，请直接写出EF长．

8 . 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cos∠α＝，下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是_________．（把你认为正确结论的序号都填上）

   

9 . 一块含有角的直角三角板按如图所示的方式放置，若顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，则点的坐标为______.

10 . 如图，在矩形中，是上一点，于点，设．

（1）若，求证：；
（2）若，且在同一直线上时，求的值．

1 . 如图，在中，点，，分别在，，边上，，．
（1）求证：；
（2）设，若，求线段的长．

2 . 如图，正方形ABCD的边长等于，P是BC边上的一动点，∠APB、∠APC的角平分线PE、PF分别交AB、CD于E、F两点，连接EF．
（1）求证：△BEP∽△CPF；
（2）当∠PAB＝30°时，求△PEF的面积．

3 . 如图，B、C、D在同一直线上，△ABC和△DCE都是等边三角形，且在直线BD的同侧，BE交AD于F，BE交AC于M，AD交CE于N．
（1）求证：AD=BE；     （2）求证：△ABF∽△ADB．     

4 . 如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，点E是边BC上一个动点（不与点B、C重合），AE的垂线AF交CD的延长线于点F，点G在线段EF上，满足FG∶GE＝1∶2，设BE＝x．
（1）求证：；
（2）当点G在△ADF的内部时，用x的代数式表示∠ADG的余切；
（3）当∠FGD＝∠AFE时，求线段BE的长．

5 . 如图，在中，，，点为边上一点，且，点为中点，．

（1）求的长．
（2）求证：．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，顶点A在反比例函y＝（x＞0）上运动，此时顶点B也在反比例函数y＝上运动，则m的值为(        )

A．-9

B．-12

C．-15

D．-18

7 . 如图，在四边形中，，，且，，若点是上的一点，且，求证：．

   

8 . 如图1和图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是x轴上的一个动点，M是线段AC的中点．把线段AM以A为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到AB．过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．设A点的横坐标为m．
（1）求证：△AOC∽△BEA；
（2）若m=3，则点B的坐标为　       ；若m=﹣3，则点B的坐标为　        ；
（3）若m＞0，△BCD的面积为S，则m为何值时，S=6？
（4）是否存在m，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由．

9 . 如图，等边的边长为6，点在上且，点在上，连接交于点，且，若点是射线上一点，当以、、为顶点的三角形与相似时，则的长为_____．

10 . 如图，在矩形中，点是边上一点，连结，将沿对折，点落在边上点处，与对角线交于点，连结．若，．则______．

1 . 在矩形中，已知，在边上取点，使，连结，过点作，与边或其延长线交于点．
猜想：如图①，当点在边上时，线段与的大小关系为       ．
探究：如图②，当点在边的延长线上时，与边交于点．判断线段与的大小关系，并加以证明．
应用：如图②，若利用探究得到的结论，求线段的长．

2 . 如图，在矩形中，、、、分别为、、、边上的点，当时，证明：．

3 . 如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向点D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG．
（1）求证：；
（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值；
（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时有？

   

4 . ⑴如图1，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE，DC＝CE.求证：AC＝BE.
⑵如图2，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°.
①求证：；②连接BD，若∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值；
⑶如图3，在△ABD中，点C在AB边上，且∠ADC＝∠ABD，点E在BD边上，连接CE，∠BCE＋∠BAD＝180°，AC＝3，BC＝，CE＝，直接写出的值.

5 . 如图，在中，为边上的中线，点为延长线上一点，连接交于点，，．

（1）求证：；
（2）在图中找出与相等的线段，并证明；
（3）若，求的值（用含的代数式表示）．

6 . 如图，为的边上一点，，，则的长为（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . [感知] 如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合）， ， 易证： △DAP∽△PBC（不要求证明）
[探究]如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合），
（1）求证：△DAP∽△PBC.
（2）若PD=5，PC=10.BC=8求AP的长.

[应用]如图③，在△ABC中，AC=BC=4，AB=6，点P在边AB上（点P不与A、B重合），连结CP，作 ，与边BC交于点E.当CE=3EB时，直接写出AP的长.

8 . 如图，把边长为，的矩形对折，使点和重合，求折痕的长．

9 . 如图，，且，，，在上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，若存在，求的长，若不存在，请说明理由．

10 . 如图，在中，，，，，求的长．

1 . 如图，在中，，点在上，连接，，，，则线段___________________．

   

2 . 如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，点F在AC上，且∠DEF＝45°．

（1）求证：△BED∽△CFE；
（2）若BD＝3，BE＝2，求CF的长．

3 . 在直角坐标系中，已知圆的圆心坐标为，半径为5，点和点是圆上两个不同的点，其中与均不为0．过点分别作圆的切线与轴和分别相交于两点，则_________．

4 . 如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=6，点P是边BC上的动点．现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F．

（1）当点P恰好为BC的中点时，折痕EF的长度为        ；
（2）设BP=x，要使折痕始终与边AB，AD有交点，x的取值范围是        ．