旋转相似 - 初中数学 - 困难

1 .    

(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

2 . 如图，是的切线，为切点，点在上，过点B作交于点，作交于点，点为上一点，连接交于点，若，，则线段的长度为___________，的周长为___________

   

3 . 如图，在中，，，边上的高为，且是锐角,是边上的动点，连接，作，与边交于点，则经过点，，的的半径最小值为______．

4 . 问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．

5 . 如图，在中，，平分交于点，点是上一点，以为圆心，长为直径的交于点，且经过点，连接．

(1)若，求的度数；
(2)求证：是的切线；
(3)探究，发现与证明：已知点F在上，且，连接，，且交于点，是否存在常数a和b，使等式成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式成立；若不存在，请说明理由．

6 . 在正方形中，等腰直角，，连接，H为中点，连接、、，发现和为定值．

（1）①__________；
②__________；
③小明为了证明①②，连接交于O，连接，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②．
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，，（）求：
①__________（用k的代数式表示）
②__________（用k、的代数式表示）

7 . 1.问题发现
图（1），在和中，，，，连接，交于点M.
①的值为______；②的度数为_______．
（2）类比探究
图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．
①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长；
②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值．

8 . 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

(1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是        ；
(2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．

9 . 某校数学活动小组探究了如下数学问题：

(1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长．

10 . 在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当时，的值是　 　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　 　．
（2）类比探究
如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．

1 . 【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．
【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．

2 . 已知，，直线与直线相交于点．

(1)如图1，点在内部，当且点，重合时，请证明：；
(2)如图2，点在内部．
①当时，探究线段，，之间的数量关系；
②当时，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系；
(3)当，，且为直角三角形时，直接写出表示线段与的比值．

3 . 【操作与思考】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且，且绕点A顺时针旋转得到，画出，并证明；
【尝试与应用】
（2）如图2，正方形边长为8，点E，F分别为，边上的点，．交于M，求证；
【拓展与创新】
（3）如图3，矩形中，，，点E，F分别为，边上的点，，交于M．若，直接写出的长．

4 . 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ）

A．个

B．个

C．个

D．个

5 . 将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，
如图1，当时，的形状为          ，连接，可求出的值为        ；

   

当且时，
①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．

   

6 . 在平面直角坐标系中，已知点，直线过点且垂直于轴，点关于直线的对称点为点．对于坐标平面内的点和图形做如下定义：若上存在点使是以为直角顶点的等腰直角三角形，则称点是关于和图形的“对垂点”．
已知正方形的顶点．
(1)若，下列点中，_____（填序号）点是M关于和A的“对垂点”
①   ②   ③   ④
(2)若，以点为圆心，2为半径的圆上存在是关于和线段的“对垂点”，则的取值范围是_____
(3)直线上存在两个关于和正方形的“对垂点”，则的取值范围是_____

   

7 . 在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，.

(1)观察猜想
如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________．
(2)类比探究
如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．

8 . 在等腰三角形中，．点E为上一点，连接．
   
(1)如图1，若，过点C作交BE延长线于点D，连接，过点A作交于点F，连接，求证：；
(2)如图2，过A作交延长线于点D，将绕着点A逆时针旋转至，连接，使得于点G，与交于点M，若点M为的中点，且，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，若，，将沿着翻折得到，点落在BE延长线上，交于点P，点Q、R分别是射线、上的点，连接、、，满足，当取得最大值时，直接写出的最小值的平方．

9 . 【问题发现】

（1）如图1，在和中，，，，连接交于点M．求出的值及的度数；
【类比探究】
（2）如图2，在和中，，，连接，交的延长线于点M，求出的值及的度数；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．当D、C、B三点共线时时，直接写出的长为__________；

10 . 如图1，在中，，与边分别交于点D、E，连接，点F、G、H分别是的中点，分别连接．

(1)观察、猜想
观察图1，猜想      ，      
(2)探究、说理
把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由
(3)拓展、思考
在所在的平面内，把绕点C自由旋转，当时，直接写出线段的长度的取值范围      

1 . 如图，回答下列题：

【操作发现】
如图（1），在和中，，，，连接，交于点M．
①与之间的数量关系为_________；
②的度数为_________；
【类比探究】
如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数．
【实际应用】
如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离．

2 . 某校数学活动小组探究了如下数学问题：

   

(1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长．

3 . 如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：
①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；
②△ACF∽△ADG；
③；
④DG⊥AC．
其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）

4 . 如图，在和中，，，，点在边上，是的中点．连接，是的中点．

(1)求证：；
(2)如图（1），若点在上，直接写出的值；
(3)①如图（2），若点在下方，判定以，，为顶点的三角形的形状，并证明你的结论．
②如图（2），若线段（m为常数），请直接写出点从点运动到点，点的运动路径长．（请用含 的式子表示）．

5 . 综合探究

(1)【问题发现】
如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程．
(2)【类比探究】
如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程．
(3)【拓展延伸】
如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长．

6 . 如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．
（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）．

   

7 . （1）【观察发现】如图（1），在，点D是边的中点，延长BA到点E，使，连接，可得与的数量关系是______，位置关系是______．
（2）【探究迁移】如图（2），在中，，，点为平面内一点，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，，点为的中点，连接、，试判断和的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，，当时，请直接写出的长．

8 . 如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．

(1)如图1，若∠BAC＝90°，当C、D、E共线时，AD的延长线AF⊥BC交BC于点F，则∠ACE＝______；
(2)如图2，连接CD、BE，延长ED交BC于点F，若点F是BC的中点，∠BAC＝∠DAE，证明：AD⊥CD；
(3)如图3，延长DC到点M，连接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延长ED、BM交于点N，连接AN，若∠BAC＝2∠NAD，请写出∠ADM、∠DAE它们之间的数量关系，并写出证明过程．

9 . 如图，为等边三角形，D为AC边上一点，连接BD，M为BD的中点，连接AM．

(1)如图1，若AB＝2+2，∠ABD＝45°，求的面积；
(2)如图2，过点M作与AC交于点E，与BC的延长线交于点N，求证：AD＝CN；
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿AM翻折得，连接B'N，当B'N取得最小值时，直接写出的值．

10 . 如图，在矩形中，对角线和相交于点，边的长为4，边的长为，在平面内绕点旋转，且始终保持，．

(1)如图1，当点与点重合时，线段与线段的数量关系是_____，线段与线段的位置关系是_____．
(2)如图2，我们发现在绕点旋转的程中始终保持，当点旋转至线段的中点时，求线段的长．
(3)如图3，若点的运动轨迹为直线，连接，请直接写出线段的最小值和此时的面积．

1 . 在等边中，为边上一点，于．

(1)如图1，若，，求的值；
(2)如图2，线段的垂直平分线交于，点为的中点，连接，，，求证：；
(3)如图3，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为边上点右边一动点，连接、，当取得最小值时，直接写出的值．

2 . 综合与实践

【问题呈现】
（1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________．
（2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，．
【类比探究】
①如图②，点在线段上时，求证：．
【拓展提升】
②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长．

3 . 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P．

(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______；
(2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
(3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值．

4 . 如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点．

(1)如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程；
(2)①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）；
②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
(3)若，，请直接写出的长．

5 . 发现规律：
（1）如图①，与都是等边三角形，直线交于点．直线，交于点．求的度数
（2）已知：与的位置如图②所示，直线交于点．直线，交于点．若，，求的度数
应用结论：

（3）如图③，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为轴上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，求线段长度的最小值

6 . 在矩形中，点为射线上一点，连接，以为一边，在的右侧作正方形．

(1)若，如图1，连接，当射线与射线的交点在线段上时．
求证：①；
②点一定在射线上；
(2)如图2，若，，连接，求的最小值．

7 . 如图，函数y＝﹣x²+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x²﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．
（Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式；
（Ⅱ）设抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x²+bx+c，
（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；
（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．

      

8 . （1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且点不与、重合，点不与、重合，，，，求的长．小明利用正方形的性质，通过把旋转到的位置（如图2），就计算出了的长为_____．

（2）如图3，是正方形的边上的任意一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接．求的度数．
（3）如图4，正方形中，过点再作，垂足为，连接．求证：．

9 . （1）观察猜想：
如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____．
（2）类比探究：
如图3，当，时，请求出的值及的度数．
（3）拓展应用：
如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离．

10 . 在中，，CD是中线，，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N．

（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立；
（3）若，，求DN的长．

1 . 如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求证△ACF∽△ABE；
（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．

2 . 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离．

3 . 在△ABC中， ， ， 是AC上一动点，作 的平分线交 于点 ．

(1)当 时，求证： ；
(2)将 沿 翻折得到 ，当 ，， 时，求的值；
(3)将 绕点 逆时针旋转 到 ，连接 交 于点 ，若 ， ，，当的值最小时，求．

4 . 一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，（如图3），连接，．试求的值（用a，b表示）．

   

5 . ［问题发现］

(1)如图1，在Rt△ABC中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点与点重合，已知．请直接写出线段与的数量关系；
［实验研究］
(2)在（1）的条件下，将正方形绕点旋转至如图2所示的位置，连接，，．请猜想线段和的数量关系，并证明你的结论；
［结论运用］
(3)在（1）（2）的条件下，若的面积为8，当正方形旋转到，，三点共线时，请求出线段的长．

6 . 观察猜想

(1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是______．
(2)类比探究
如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．
(3)拓展延伸
如图3，在等腰中，，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角．连按．试探究与的数量关系，并说明理由．

7 . （1）如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，连接BD，CE．求证：．
（2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，连接BC，BC、AC、CD之间有何数量关系？

小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出BC，AC，CD之间的关系．
（3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝5，连接BE，BF．求BE+BF的最小值．

8 . 如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点．

(1)求证：；
(2)如图2，如果，且，求的值；
(3)如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．

9 . 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S_△ABF：S_{四边形CDEF}＝2：5，其中正确的结论有（       ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

10 . 如图，在四边形中，，，，，则对角线的最大值为________．

   

1 . 如图，正方形中，以为边向正方形内部作等边．连接，，连接交于F，下列结论：①；②；③④的面积：的面积，其中正确的结论有（　　）个．

A．4

B．3

C．2

D．1

2 . 如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若与相交于点，求证：点是的中点；
(3)如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由．

3 . （1）尝试探究：如图①，在中，，，点、分别是边、上的点，且EF∥AB．
①的值为_________；
②直线与直线的位置关系为__________；
（2）类比延伸：如图②，若将图①中的绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转的过程中，请判断的值及直线与直线的位置关系，并说明理由；
（3）拓展运用：若，，在旋转过程中，当三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长．

4 . 如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上．

（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为           ；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长．

5 . 如图，在中，，将绕直角顶点旋转至，点的对应点分别为．连接，与交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④在旋转过程中，若，则以为顶点的四边形面积最大值为．上述结论中，正确结论的序号有__________．

6 . 如图，正方形的边长为8，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边的中点，当线段的长最小时，______．

7 . 几何探究：
【问题发现】
（1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是_______（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）

【类比探究】
（2）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若，当B、D、E三点共线时，直接写出BD的长．

8 . 探究与实践：
【初步探究】

(1)如图1，在四边形中，若，则___________，的值为___________．
【问题解决】
(2)如图2，在四边形中，为线段上一点，且，求的值．
【拓展应用】
(3)如图3，在四边形中，，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的面积．

9 . 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．
观察猜想：

（1）如图1，当α＝60°时，的值为　　，直线CD与 AP所成的较小角的度数为　　°；
类比探究：
（2）如图2，当α＝90°时，求出的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；
拓展应用：
（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋，求BD的长．

10 . 如图，和均为等腰直角三角形，．现将绕点C旋转．

（1）如图1，若三点共线，，求点B到直线的距离；
（2）如图2，连接，点F为线段的中点，连接，求证：；
（3）如图3，若点G在线段上，且，在内部有一点O，请直接写出的最小值．

1 . 如图，在△ABC中，BD＝5，D为边AB上－动点，以CD为一边作正方形CDEF，当点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为_________．

2 . 如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求的值，
（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长．

3 . 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S_{四边形CDEF}＝S_△ABF，其中正确的结论有_______（填正确的序号）

4 . 如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE、DF相交于点P．

（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF的数量关系是　 　．
（2）若AD＝nAB（n≠1），将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由．
（3）若AB＝8，BC＝12，将△AEF旋转至AE⊥BE，请算出DP的长．

5 . 如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明：四边形CEGF是正方形；
（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG＝9，GH＝3，求BC的长．

6 . 如图，在一个的网格中，点都在格点上，，点P是线段AB上的一个动点，连接OP，将线段OA沿直线OP进行翻折，点A落在点C处，连接BC，以BC为斜边在直线BC的左侧（或下方）构造等腰直角三角形，则点P从A运动到B的过程中，线段BC的长的最小值为____________，线段BD所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）____________．

7 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且PC＜BC，连接MP交AC于点H．将射线MP绕点M逆时针旋转60°交线段CA的延长线于点D．
（1）找出与∠AMP相等的角，并说明理由．
（2）若CP=BC，求的值．

8 . 在正方形ABCD中，P为AB边上一点，将△BCP沿CP折叠，得到△FCP．
（1）如图1，延长PF交AD于E，求证：EF=ED；
（2）如图2，DF，CP的延长线交于点G，求的值．

9 . 如图，在中，，，，，以下结论正确的是_____．
①；②若，则；③和相似，则；④连接，则的最大值为．

   

10 . 如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、．

(1)猜想：的值是                     ，直线与直线相交所成的锐角度数是         ；
(2)探究：直线与垂直时，求线段的长；
(3)拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围．

1 . 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，点P是AC边上的一个动点，延长DP到点E，使∠CAE＝∠CDE，作∠DCG＝∠ACE，其中G点在DE上．
   
（1）如图1，若∠B＝45°，则＝　　；
（2）如图2，若∠DCG＝30°，，求：＝　　；
（3）如图3，若∠ABC＝60°，延长CG至点M，使得MG＝GC，连接AM，BM．在点P运动的过程中，探究：当的值为多少时，线段AM与DM的长度之和取得最小值？

2 . 如图1，在中，，在斜边上取一点D，过点D作，交于点E．现将绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在的内部），使得．

（1）①求证：；
②若，求的长；
（2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，求k的值；
（3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，，试探究三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）

3 . （1）问题发现如图1，在和中，，，，连接交于点.填空：①的值为______；②的度数为______．
（2）类比探究如图2，在和中，，，连接交的延长线于点.请判断的值及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点在同一条直线上时的长．

       

4 . 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）①当α＝0°时，=     ； ②当α＝180°时，= ；
（2）试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长．

5 . 在和中，，，且，点E在的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且．

【观察猜想】
（1）如图①，当时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________．
【探究证明】
（2）如图②，当时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若，请直接写出的面积．

6 . 矩形中，，点分别在边上，且，连接并延长，交的延长线于点，点为射线上一动点，过点作的垂线，交于点．

（1）特例发现，如图，若点恰好与点重合，填空：
①________；②与的等量关系为_________．
（2）拓展探究
如图，若点在的延长线上，与能否相等？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
（3）思维延伸
如图，点是线段上异于点一点，连接，过点作直线，交直线于点，是否存在点，使相等？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．

7 . 如图1所示，矩形中，点E，F分别为边,的中点，将绕点A逆时针旋转，直线、相交于点P．

(1)若，将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置上，则线段与的位置关系是 　 　，数量关系是 　 　．
(2)若，将绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立；若不成立，请写出正确结论
(3)若，，将旋转至时，请直接写出的长．

8 . 如图1，点E为△ABC边AB上的一点，⊙O为△BCE的外接圆，点D为上任意一点．若AE=AC=2n，BC=n²－1，BE=n²－2n+1 ．(n≥2，且n为正整数) ．
（1）求证：∠CAE+∠CDE=90°；
（2）①如图2，当CD过圆心O时，①将△ACD绕点A顺时针旋转得△AEF，连接DF，请补全图形，猜想CD、DE、DF之间的数量关系，并证明你的猜想；②若n=3，求AD的长．
   

9 . 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以C为顶点作等腰直角三角形CMN．使∠CMN＝90°，连接BN，射线NM交BC于点D．
（1）如图1，若点A，M，N在一条直线上，
①求证：BN+CM＝AM；
②若AM＝4，BN＝，求BD的长；
（2）如图2，若AB＝4，CN＝2，将△CMN绕点C顺时针旋转一周，在旋转过程中射线NM交AB于点H，当三角形DBH是直角三角形时，请你直接写出CD的长．
   

10 . 如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，GF⊥CD．
（1）①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为　　：
（2）将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系；
（3）正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，求正方形CEGF和正方形ABCD的边长．

1 . 如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为____．（用含k的式子表示）

2 . 如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△COD绕点O逆时针旋转得到△EOF（旋转角为锐角），连AE，BF，DF，则AE=BF．
（1）如图2，若（1）中的正方形为矩形，其他条件不变．
①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；
②若BD=7，AE=，求DF的长；
（2）如图3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD=10，AC=6，AE=5，请直接写出DF的长．

3 . 数学课上，老师拿出两块不同大小的含30度角的三角板让同学们在不同位置尝试操作．

（1）如图1摆放，当点在上，点在上，得知，，求的长．
（2）如图2，在（1）的条件下，连结，求的面积．
（3）如图3摆放，把这同样的两块三角板的直角顶点互相重合放置，小三角板绕着点旋转，连结、，当时，求的值．
（4）不变，当的三边长扩大一倍后，绕点旋转一周，直线与交于点，请你直接写出点所经过的运动路径．

4 . 在中，，将绕点顺时针方向旋转角至的位置．
（1）如图1，当旋转角为时，连接与交于点，则          ．

   

（2）如图2，在（1）条件下，连接，延长交于点，求的长．

   

（3）如图3，在旋转的过程中，连线所在直线交于点，那么的长有没有最大值?如果有，求出的最大值：如果没有，请说明理由．

   

5 . 已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．
（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出的值；
（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
（3）如图3，当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示）

6 . 如图，在中，∠AC8=90°，∠BAC=a，点D在边AC上（不与点A、C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作于点E，连结CK，EK，CE，将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90度)
(1)如图1．若a=45，则的形状为__________________；
(2)在（1)的条件下，若将图1中的三角形ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：；
(3)若三角形ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含a的三角函数表示）

      

7 . 如图（1），在矩形中，，点分别是边的中点，四边形为矩形，连接．

   

（1）问题发现
在图（1）中，_________；
（2）拓展探究
将图（1）中的矩形绕点旋转一周，在旋转过程中，的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明；
（3）问题解决
当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长．

8 . 如图1，在四边形ABCD中，∠DAB被对角线AC平分，且AC²=AB·AD，我们称该四边形为“可分四边形”，∠DAB称为“可分角”．
⑴如图2，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，如果∠DCB=∠DAB，则∠DAB=_________．
⑵如图3，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，且∠BCD=150°，求证：四边形ABCD为“可分四边形”；
⑶现有四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且AC=4，BC=2，∠D=90°，求AD的长?

   

9 . 如图1，若点P是△ABC内一点，且有∠PBC=∠PCA=∠PAB，则称点P是△ABC的“等角点”

   

（1）如图1，∠ABC=70°，则∠APB=     
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，点P是△ABC的“等角点”， 若∠BAC=45°
①求的值；
②求tan∠PBC的值；

10 . 已知抛物线上有不同的两点E（3，k）和F（，k）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D，设AD的长为m（），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．

1 . 如图1，在正方形中，为线段上一点，连接，过作交于，连接．
      
（1）求证：；
（2）如图2，，为中点，，分别为线段，上的动点，满足，则在，运动过程中，当以为对角线的正方形的一边恰好落在的某一边上时，直接写出正方形的面积．

2 . 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝．点D，E分别在边AB，AC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，连结BF，BF的中点为G．

   
（1）当点E与点C重合时．   
①如图1，若AD＝BD，求BF的长．
②当点D从点A运动到点B时，求点G的运动路径长．
（2）当AE＝3，点G在△DEF一边所在直线上时，求AD的长．

3 . 如图，已知四边形ABCD与四边形CFGE都是矩形，点E在CD上，点H为AG的中点，，，，，则DH的长为______ ．

4 . 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿AC﹣CB﹣BA方向绕行△ABC一周，动直线l从AC开始，以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交AB、BC于D、E两点．当点P运动到点A时，直线l也停止运动．

(1)求点P到AB的最大距离；
(2)当点P在AC上运动时，
①求tan∠PDE的值；
②把△PDE绕点E顺时针方向旋转，当点P的对应点P′落在ED上时，ED的对应线段ED′恰好与AB垂直，求此时t的值．
(3)当点P关于直线DE的对称点为F时，四边形PEFD能否成为菱形？若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由．

5 . 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．

(1)请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；
(2)求当点E在线段AF上时CD的长；
(3)设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．

6 . 已知正方形的边长为12，、分别在边、上，将沿折叠，使得点落在正方形内部（不含边界）的点处，的延长线交于点．若点在正方形的对称轴上，且满足，则折痕的长为______________．

7 . 在矩形中，，点为的中点，点为对角线的中点，点、分别在边、上，且．

（1）求的值．
（2）求证：．
（3）作射线与射线交于点，若，，求的长．

8 . （1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．
（2）理解应用：如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长　 　；
（3）拓展应用：如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长　 　

9 . 如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，作∠ABC的平分线交AC于点D，在AB上取点O，以点O为圆心经过B、D两点画圆分别与AB、BC相交于点E、F（异于点B）．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E恰好是AO的中点，求的长；
（3）若CF的长为，①求⊙O的半径长；②点F关于BD轴对称后得到点F′，求△BFF′与△DEF′的面积之比．

10 . 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，过点A作AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作BC的平行线分别交AC、AB的延长线于点E、F，DG⊥AB于点G，连接BD．
(1)求证：△AED∽△DGB；
(2)求证：EF是⊙O的切线；
(3)若，OA＝4，求劣弧的长度(结果保留π)．

1 . 如图，在矩形中，，点和点分别为上的点，将沿翻折，使点落在上的点处，过点作交于点，过点作交于点．若四边形与四边形的面积相等，则的长为__________．

2 . 如图，直线分别交轴于A、C，点P是该直线与反比例函数在第一象限内的一个交点，PB⊥轴于B，且S_△ABP=9．
（1）求证：△AOC∽△ABP；
（2）求点P的坐标；
（3）设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥轴于T，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．
   

3 . 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，.点从点出发，沿轴以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当点到达点时停止运动，设点运动的时间是t秒.将线段的中点绕点按顺时针方向旋转，得点，点随点的运动而运动，连接.
(1)请用含t的代数式表示出点的坐标.
(2)求为何值时，的面积最大，最大为多少?
(3)在点从向运动的过程中，能否成为直角三角形?若能，求的值:若不能，请说明理由.
(4)请直接写出整个运动过程中，点所经过的长度.

4 . 如图，二次函数的图象交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于点C（0，2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，PM⊥x轴于点M．交直线BC于点Q，过点C作CN⊥PM于点N．连接PC；
①若△PCQ为以CQ为腰的等腰三角形，求点P的横坐标；
②点G为点N关于PC的对称点，当点G落在坐标轴上时，直接写出点P的坐标．

   

5 . 已知点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，线段的长是方程的解，．

   

（1）求点的坐标；
（2）点在轴负半轴上，直线，交线段于点，交轴于点，．若反比例函数的图象经过点，求的值；
（3）在（2）条件下，点是中点，点，，在直线或轴上，是否存在点，使四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 已知，如图1，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，且，．

（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，点是抛物线第一象限上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段长为，求与之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，过点作直线轴，在上取一点（点在第二象限），连接，使，连接并延长交轴于点，过点作于点，连接、、．若时，求值．

7 . 如图1，抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）（a＞0）与x轴交于C，D两点（点C在点D的左边），与y轴负半轴交于点A．
（1）若△ACD的面积为16．
①求抛物线解析式；
②S为线段OD上一点，过S作x轴的垂线，交抛物线于点P，将线段SC，SP绕点S顺时针旋转任意相同的角到SC₁，SP₁的位置，使点C，P的对应点C₁，P₁都在x轴上方，C₁C与P₁S交于点M，P₁P与x轴交于点N．求的最大值；
（2）如图2，直线y＝x﹣12a与x轴交于点B，点M在抛物线上，且满足∠MAB＝75°的点M有且只有两个，求a的取值范围．
   　　　   

8 . 如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m＞0.
（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；
（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；
（3）如图（2），设抛物线y=a(x－m－6)²+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值.

9 . 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转，旋转角为，交直线于点E，BC交y轴于点F．对角线AC交y轴于点M，交直线于点N，连接，将与的面积分别记为与，设，，则关于n的函数表达式为 _____________．

10 . 如图，矩形中，，，点为上一点，且，点为直线上一个动点，以为直角边，在下方作，其中，，连接，则线段长的最小值为___________．

1 . 如图，在等腰中，，连接、、．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，求证：四边形是菱形；
(3)如图3，若，且，求的值．

2 . 已知正方形：

（1）如图1，正方形，①求证：；②求的值．
（2）如图2，为，的中点，正方形，求值．

3 . 点为的斜边上一点，点在上，连结，，且，交的延长线于点，连结．

（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，当点在上运动时，求证：．

4 . 如图，在四边形中，平分，且，点E是的中点，连接交于点F．

（1）求证：；
（2）当时，求；
（3）是否存在点F，使F是的三等点？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由；
（4）求的最大值．

5 . 如图1，两个等腰直角三角板和，有一条边在同一条直线上，其中，，将绕点逆时针旋转度，，使，得到图2，求的值．（用含的代数式表示）