旋转相似 - 初中数学 - 适中

1 . 综合与实践
【问题呈现】
（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：．
【类比探究】
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则         
【拓展提升】
（3）如图3，，，连接，，若．
①求的值；
②延长交于点，则        ．

2 . 如图，正方形的边长为1，点是边上的动点，从点沿向点运动，以为边，在的上方作正方形，连接．请探究：

(1)线段与是否相等？请说明理由．
(2)若，请给出证明；若设，，则当取何值时，最大？
(3)连接，当点运动到的何位置时，？请直接写出结论．

3 . 【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ；

【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度．

4 . 如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．

   

(1)求证：；
(2)求的度数及的长；
(3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长．

5 . 在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中，，点为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点逆时针旋转，使、与边的交点分别为、，点不与点重合，点不与点重合．

(1)求证：；
(2)已知等腰直角三角形的斜边长为4．
①请求出的值；
②若，请求出的长．

6 . 已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若，，则CH的长为________.

7 . 已知ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且．

(1)点D与点B重合时，
①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是           ，位置关系是           ；
②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；
(2)BD＝2CD时，
①如图3，k＝1时，若AE＝2，＝6，求FC的长度；
②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值．

8 . 如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，直线AP交CD于E，PF⊥AE交BC于点F，连接AF交BD于M．

(1)判断△APF的形状，并说明理由；
(2)连接EF，求EF:PM的值．

9 . 如图，已知正方形，点是延长线上一点，连接，过点作于点，连接 ．

(1)求证：；
(2)作点关于直线的对称点，连接．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．

10 . 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

1 . 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．

（1）如图1，在四边形中，，，对角线平分．求证：是四边形的“相似对角线”；
（2）如图2，已知是四边形的“相似对角线”，．连接，若的面积为，求的长．

2 . 内接于⊙O，在劣弧上，连交于，连，．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，平分，求证：；
（3）如图3，在（2）条件下，点在延长线上，连，于，，，，求⊙O半径的长．

3 . 如图1，点O为正方形ABCD 的中心，E为AB 边上一点，F为BC边上一点，△EBF的周长等于 BC 的长.
（1）求∠EOF 的度数.
（2）连接 OA、OC（如图2）.求证：△AOE∽△CFO.
（3）若OE=OF，求的值.

4 . 在和中，，，与在同一条直线上，点与点重合，，如图为将绕点顺时针旋转后的图形，连接，，若，求和的面积．
   

5 . 【问题呈现】
如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点P为射线、的交点．探究，的位置关系．

【问题探究】
(1)如图1，若和是等腰直角三角形，求证：；
(2)如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)【拓展应用】在（1）的条件下，，，将绕点A旋转使点E恰好落在线段上，请直接写出此时的长度．

6 . 将绕点逆时针方向旋转，并使各边长变为原来的倍，得到，我们将这种变换记为．

（1）问题发现
如图①，对作变换得，则______；直线与直线所夹的锐角度数为______．
（2）拓展探究
如图②，中，且，连结，．对作变换得，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．
（3）问题解决
如图③，中，，，对作变换得，使点、、在同一直线上，且四边形为矩形，请直接写出的值．

7 . 如图，在中，，，，为边上一点，连接，作交于点，连接．猜想线段与之间的数量关系，并证明．

   

8 . 如图，已知点在内，，，，．

（1）当时，求证：；
（2）当时，求的值．

9 . 如图1，中，，，点、、分别在三条边上，，．

(1)如图2，将绕点逆时针旋转，点、分别为、的中点，若，求的长；
(2)如图3，将绕点顺时针旋转，点、为、的中点，直接写出的值．