母子型相似 - 初中数学 - 困难

1 . 马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究：
如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点；

（1）若，则_____；若，则_____；
如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点；
（2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小；
（3）若，求出此时的面积；
如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接．
（4）请直接写出的最小值．

2 . 如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______．

3 . 如图，中，点在上，，若，，则线段的长为___________．

4 . 如图，在中，，，，D是的中点，点E在上，分别连接、交于点F．若，则____________________ ．

5 . 如图，四边形内接于，对角线平分，于点E，的延长线交于点F，连接和，

(1)如图1，若点O在线段上，的弦为的直径，，求劣弧的长．
(2)如图2，过点C作于点H，，探究：当时，与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，连接，，，，求的长．

6 . 已知：如图1，是的内接三角形，且，点是弧上一动点，连接交弦于点，点在弦上，且．

   

(1)求证：；
(2)如图2，若是的直径，，，求直径的长；
(3)如图3，保持点位置不变，调整点的位置使得直线经过圆心，点在上，使得成立的所有点中，有一个点的位置始终不变，试找出这个点，并说明理由．

7 . 如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角）

8 . 如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：
①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；
②△ACF∽△ADG；
③；
④DG⊥AC．
其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）

9 . 定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．

(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．

10 . 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E、D，连接EC、CD．

（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）求证：；
（3）若，⊙O的半径为3，求OA的长．

1 . 如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为___.

2 . 如图，已知抛物线y＝ax²+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．

   

3 . 如图，在中，点E、F分别在边上．，，若E、F分别是中点，则__________；若，，则__________．

4 . 如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是_____．

5 . 如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，交于F．

(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)若，求的长．

6 . 如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求证△ACF∽△ABE；
（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．

7 . 如图，是的直径，点C是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为D，直线与的延长线相交于P．弦平分，交直径于点F，连结．

(1)求证：平分；
(2)探究线段，之间的大小关系，并加以证明；
(3)若，，求的长．

8 . 如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点F为DM中点，点E为DC上的动点．当∠DFE=45°时，则DE= _____ ．

9 . 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF，
（1）求证：△BEF是直角三角形；
（2）求证：△BEF∽△BCA；
（3）当AB=6，BC=m时，在线段CM正存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．

10 . 在中，，OA平分交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．

（1）如图1，求证：AB为的切线；
（2）如图2，AB与相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．
②若，求的值．

1 . 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
   
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

2 . 如图，抛物线y=ax²﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）试求出AM+AN的最小值．

3 . 如图1，，，，点从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．

(1)求的长．
(2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值．
(3)如图2，将本题改为点从点出发以每秒个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，为等腰三角形．

4 . 如图：在矩形ABCD中，，，动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．
（1）______m，______m，_____m（用含t的代数式表示）
（2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？
（3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

5 . 如图，已知直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝（x＞0）交于C、D两点，且∠AOC＝∠ADO，则k的值为_____．

6 . 如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为C，交于点D，求的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，若点A是线段的中点，求抛物线的解析式．

7 . 如图，已知反比例函数（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C，点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD，直线BC与x轴的负半轴交于点E，

（1）若BD＝3OC，求△BDE的面积；
（2）是否存在点B，使得四边形ACED为平行四边形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

8 . 如图，正方形ABCD的边长为4，点E 、F在边BC，CD上运动，且满足BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ________ ；当CG取最小值时，CE的长为 _________

9 . 在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A叫做这条抛物线的回归点．

（1）已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由；
（2）已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D．连接CO并延长，交该抛物线于点E．点F是射线CD上一点，如果，求点F的坐标．

10 . 如图，延长的直径，交直线于点，．射线自出发绕点逆时针旋转，旋转角为；同时，线段从出发绕点逆时针旋转，旋转角为，直线与射线交于点，与直线交于点，其中且．

(1)当α＝20°时，的长为　      ；
(2)当AF⊥DG时，求旋转角α，并证明射线DM是⊙O的切线；
(3)当tan∠BAC＝时，求线段HF的长度；
(4)直接写出线段OH的最大值．

1 . （1）问题感知 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC，点P是边AC的中点，连接BP，将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PD．连接AD．过点P作PE∥AB交BC于点E，则图中与△BEP全等的三角形是　 　，∠BAD＝　 　°；

（2）问题拓展 如图2，在△ABC中，AC＝BC＝AB，点P是CA延长线上一点，连接BP，将线段PB绕点P顺时针旋转到线段PD，使得∠BPD＝∠C，连接AD，则线段CP与AD之间存在的数量关系为CP＝AD，请给予证明；

（3）问题解决 如图3，在△ABC中，AC＝BC＝AB＝2，点P在直线AC上，且∠APB＝30°，将线段PB绕点P顺时针旋转60°到线段PD，连接AD，请直接写出△ADP的周长．

2 . 如图1，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C. 点D(2，3)在该抛物线上，直线AD与y轴相交于点E，点F是直线AD上方的抛物线上的动点.
（1）求该抛物线对应的二次函数关系式；
（2）当点F到直线AD距离最大时，求点F的坐标；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P的坐标为(0，n)，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形.①求n的值；②若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.   

3 . 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．
（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC²=AD·AB；
（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；
（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．

4 . 如图，在等边中，，点是以为圆心，半径为3的圆上一动点，连接，为上一点，，连接，则线段的最大值与最小值之积为（       ）

A．27

B．26

C．25

D．24

5 . 如图，在矩形中，，，为矩形对角线的交点，以为圆心，1为半径作，为上的一个动点，连接，，则面积的最大值是（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把ACDE沿DE翻折，点C落在处，与AB交于点F，连接．当时，BC’的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

7 . 如图，点A在线段EB上，且EA＝AB，以AB直径作⊙O，过点E作射线EM交⊙O于D、C两点，且．过点B作BF⊥EM，垂足为点F．
   
（1）求证：CD•CB＝2CF•EA；
（2）求tan∠CBF的值．

8 . 已知：正方形，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点处，使三角板绕点旋转．

（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想与的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若，求的度数；
（3）若，点是边的中点，连结，与交于点，当三角板的边与边重合时（如图2），若，求的长．

9 . 如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为________；
（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为_______．

10 . 如图，已知一次函数y＝3x＋3与y轴交于A，与x轴交于点B，直线AC与正半轴交于点C，且AC＝BC，
（1）求直线AC的解析式；
（2）点D为线段AC上一点，点E为线段CD的中点，过点E作x轴的平行线交直线AB于点F，连接DF并延长交x轴于点G，求证；AD＝BG；
（3）在（2）的条件下，若∠AFD＝2∠BAO，求点D坐标．

1 . 如图，点是正方形中延长线上一点，对角线相交于点，连接，分别交于点，过点作的垂线，垂足为点，交线段于．

（1）若 ，求的大小．
（2）求证：．
（3）若正方形的边长为1，，求的长．

2 . 如图1，在菱形ABCD中，AC是对角线，AB＝AC＝6，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足AE＝BF，连接AF与CE相交于点G．
（1）求的度数．
（2）如图2，作交CE于点H，若CF＝4，，求GH的值．
（3）如图3，点O为线段CE中点，将线段EO绕点E顺时针旋转60°得到线段EM，当构成等腰三角形时，请直接写出AE的长．

3 . 如图，正方形的边长为，以为底边在正方形内作等腰，点在边上，再在等腰中作最大的正方形，···，按照此规律继续下去，则第个等腰三角形的底边长为（       ）

A．	B．
C．2	D．2

4 . 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为4和2，∠B＝120°，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．3

B．2

C．4

D．3

5 . 如图，中，点分别是的中点，与点．

（1）求证：；
（2）求的大小；
（3）若，求的面积．

6 . 如图，在正方形中，点是边上一点，连接，点为的中点，过点作，分别与，相交于点，．连接分别与，相交于点，，连接，若，，则线段的长为__________．

7 . 如图1，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E，F分别在边AB，BC上，且BF＝FC，连接DE，EF，并以DE，EF为边作▱DEFG．

（1）连接DF，求DF的长度；
（2）求▱DEFG周长的最小值；
（3）当▱DEFG为正方形时（如图2），连接BG，分别交EF，CD于点P、Q，求BP：QG的值．

8 . 如图，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，OA＝OB，点C的坐标为（﹣1，0），OA：OC＝3：1，抛物线y＝ax²+bx+c经过点A、B、C，顶点为D．

   

（1）求a、b、c的值；
（2）若直线y＝x+n与x轴交于点E，与y轴交于点F．
①当n＝﹣1时，求∠BAF﹣∠BAD的值；
②若直线EF上有点H，使∠AHC＝90°，求n的取值范围．

9 . 已知在▱ABCD，AB＝2，BC＝10，∠B＝60°，E是边BC上的动点，以AE为一边作▱AEFG，且使得直线FG经过点D．
   
（1）如图1，EF与AD相交于H，若H是EF的中点．
①求证：GF＝DF；
②若GF⊥CD，求GD的长；
（2）如图2，设AE＝x，AG＝y，当点E在边BC上移动时，始终保持∠AEF＝45°，
①求y关于x的函数关系式，并求函数y的取值范围；
②连接ED，当△AED是直角三角形时，求DF的值．

10 . 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a、b），且a、b满足a²+4a+4＝，点B为x轴上动点，过点P作PC⊥y轴于点C．

（1）求O、P两点间的距离；
（2）如图1，点A为y轴上一点，连接PA、PB、AB，若B（﹣4，0），且∠APB＝45°+∠PAC，求点A的坐标；
（3）如图2，过点P作PD⊥PB交y轴正半轴于点D，点M为BD的中点，点N（﹣1，0），则MN的最小值为　　（请直接写出结果）．

1 . 如图，在中，，正方形的顶点分别在的边上，在边上，则正方形的边长等于_______．

2 . 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是______ ．
   

3 . 如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＜0，a、b、c为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，A（﹣6，0），C（1，0），B（0，）．
（1）求该抛物线的函数关系式与直线AB的函数关系式；
（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M'，将OM'绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；
①探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标：若不存在，请说明理由；
②试求出此旋转过程中，（NANB）的最小值．

   

4 . 在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点E是AB的中点，点F在边BC上，连接DE，EF．
（1）取AD中点G，连接EF，EG．DE与FG交于点H．
①如图1，当点F与点B重合时，求证：△EGH∽△DBH．
②如图2，当∠EDF＝2∠GED时，求线段EF的长．
（2）连接AF，如图3，当∠DEF＝∠BAF时，求BF的长．

5 . 如图，在中，平分在延长线上，且，若，，则的长为_____．

6 . 如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q，使，相交于点O，若，，则的长为_______，的长为_______．

7 . 如图，在ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若BC=8，AC=12时，求⊙O的半径和线段BG的长．

8 . 如图，点A与点B关于原点对称，点C在第四象限，∠ACB＝90°，点D是x轴正半轴上一点，AC平分∠BAD，E是AD的中点，反比例函数(k0)的图象经过点A，E．若△ACE的面积为6，则k的值为______．

9 . 如图， 正方形ABCD中，△绕点A逆时针转到，，分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则的值为（       ）

A．8

B．12

C．16

D．20

10 . 如图，在中，，点在边上，，点在上，，垂足为，若，，则线段的长为__________．

1 . 如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC，D为半径OA上一点，PD＝PC，连接CD并延长交⊙O于点E，且E是的中点．

   

（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，CD•DE＝15，求PA的长．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点在轴上，顶点在轴上，，，点为对角线上一动点，过点作，交轴于点．

（1）_________；
（2）在点从点运动到点的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出其值；
（3）若将沿直线折叠后，点与点重合，请求出的长为多少？

3 . 【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：
中，是的中点，是上一点，延长、交于点，，，求的长．
小白的想法是：过点作交于，再通过相似三角形的性质得到、的比，从而得出的长．请你按照小白的思路完成解答．

【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：
中，平分交于，为边上一点，，、为上两点，，，为上一点，连接交、于、，，猜想并验证与的数量关系．

4 . 如图，在中，的平分线AD交BC于点E，交的外接圆于点D．过点D作的切线DF，连接BD．
（1）求证：．
（2）若，．
①当时，求线段的长为_____________．
②当四边形OCDB为平行四边形时，的半径等于_____________．

5 . 已知半圆O的直径AB=4，点C、D在半圆O上（点C与点D不重合），∠COB=∠DBO，弦BD与半径OC相交于点E，CH⊥AB，垂足为点H，CH交弦BD于点F．
（1）如图1，当点D是的中点时，求∠COB的度数；
（2）如图2，设OH=x，=y，求y关于x函数解析式，并写出定义域；
（3）联结OD、OF，如果△DOF是等腰三角形，求线段OH的长．

6 . 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，若AE＝5，AC＝4，则BE的长为

A．

B．

C．3

D．1

7 . 我们定义：对角线垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图 1，四边形 ABCD 中，AC⊥BD，则四边形 ABCD 是“准筝形”．

（1）“三条边相等的准筝形是菱形”是 命题；（填“真” 或“假”）
（2）如图 1，在准筝形 ABCD 中，AD＝3，AB＝2，BC＝4，求 CD的长．
（3）如图 2， 在准筝形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，点 P 在线段 AD 上，AP＝2，且 AD＝3， AO =，在 BD 上存在移动的线段EF，E 在 F 的左侧，且 EF＝1，使四边形 AEFP 周长最小，求此时OE 的长度．

8 . 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，BC＝，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B'DE的位置，B'D交AB于点F．若△AB'F为直角三角形，则AE的长为_____．
   

9 . 如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③S_{四边形ECFG}＝2S_△BGE．正确的有_____．（填正确结论的序号）

10 . 古希腊数学家发现“黄金三角形”很美。顶角为的等腰三角形，称为“黄金三角形”，如图所示，中，，，其中，又称为黄金比率，是著名的数学常数。作的平分线，交于，得到黄金三角形；作交于，交于，得到黄金三角形；作交于，交于，得到黄金三角形；依此类推，我们可以得到无穷无尽的黄金三角形。若的长为1，那么的长为（       ）．

   

A．

B．

C．

D．

1 . 如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，P为BA延长线上一点，连接CA、CD、AD，且∠PCA＝∠ADC，CE⊥AB于E，并延长交AD于F．

（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求PA的长．

2 . 如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的高，连接DE．
（1）求证：△ADB∽△AEC；
（2）若sin∠BAC=，BC=，求DE的长．

   

3 . 如图，△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为t秒.

（1）若a＝2，那么t为何值时△BPQ与△BDA相似？
（2）已知M为AC上一点，若当t＝时，四边形PQCM是平行四边形，求这时点P的运动速度.
（3）在P、Q两点运动过程中，要使线段PQ在某一时刻平分△ABD的面积，点P的运动速度应限制在什么范围内？【提示：对于一元二次方程，有如下的结论：若x₁•x₂是方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则x₁+x₂＝﹣，x₁•x₂＝】

4 . 已知二次函数与轴交于，两点，且在的左边，．
（1）若．
①求，两点的坐标（用含的代数式表示）；
②连接，，若在，，所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为个，求的取值范围．
（2）若抛物线过点，以为圆心，为半径作圆，请判断直线与⊙A的位置关系，并说明理由．

5 . 如图，在菱形中，连接，，与相交于点，，，点是矩形的边的中点，，，直线经过，两点。菱形沿直线向右以每秒个单位勾速运动直至点落在边上停止运动．下列能反映菱形进入矩形内部的周长与运动的时间之间关系的图象大致是（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 如图，在矩形中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为比，请解答下列问题：

（1）当为何值时，？
（2）设四边形的面积为，求与的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使，，三点在同一直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

7 . 如图1，在直角坐标系中，直线l与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0，）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D． 点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．
（1）求出⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；
（2）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA=45°，请求出EF的长？

8 . 如图，在平面直角坐标系中，以点C(0，4)为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于点A，AB是⊙C的切线．动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点A和点O同时出发，设运动时间为t(秒)．
（1）当t＝1时，得到P₁、Q₁，求经过A、P₁、Q₁三点的抛物线解析式及对称轴l；
（2）当t为何值时，直线PQ与⊙C相切？并写出此时点P和点Q的坐标；
（3）在(2)的条件下，抛物线对称轴l上存在一点N，使NP＋NQ最小，求出点N的坐标并说明理由．

9 . 在四边形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点Q是AD边上一点，BQ交AE于点P，∠ABQ=∠DAE，点F是AB边的中点．
（1）当四边形ABCD是正方形时，如图（1）．
①若BE=BA，求证：△ABP≌△EBP；
②若BE=4DE，求证：AF²=AQ·AD．
（2）当四边形ABCD是矩形时，如图（2），连接FQ，FD．若BE=4DE，求证：∠AFQ=∠ADF．

10 . 在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D．

（1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长；
（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F．
①求证：∠ABC＝∠EAF；
②求的值．

1 . 如图在锐角中，，两动点分别在上滑动，且，以为边长向下作正方形，设，正方形与公共部分的面积为．
（1）求出的边上的高
（2）如图1，当正方形的边恰好落在边上时，求的值
（3）如图2，当落在外部时，求出与的函数关系式

   

2 . 已知抛物线的顶点在第一象限，过点作轴于点，是线段上一点（不与点、重合），过点作轴于点，并交抛物线于点．
（1）求抛物线顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）若直线交轴的正半轴于点，且，求的面积的取值范围．

3 . 如图，在中，．点从点出发，沿以每秒个单位的速度运动．点从点出发，沿以每秒个单位的速度运动，点到达点时，两点同时停止运动．点不与点重合时，以为邻边作．设点的运动时间为秒．

（1）用含的代数式表示的长；
（2）当点落在边上时，求的值；
（3）当点在边上时，设与重叠部分图形面积为求与之间的函数关系式.
（4）连结，当射线平分面积时，直接写出的值．

4 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行于⊙O的弦MB，连接DM并延长交x轴于点C．

   

（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）设点D的坐标为(－2，4)，试求经过D、O、C三点的抛物线的解析式．
（3）若坐标平面内的点P，使得以点P和三点D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．

5 . 如图，在中，依次取的中点的中点的中点的中点，．．．．．．，并连接，．．．．若的面积是则的面积是____________．

6 . 如图，在△ABC中，∠ACB =90°，AB=10， AC=8，CD是边AB的中线．动点P从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线CD-DB向终点B运动．过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，使点C、N始终在PQ的异侧，且．设矩形PQMN与△ACD重叠部分图形的面积是S，点P的运动时间为（t>0）．
（1）当点P在边CD上时，用含的代数式表示PQ的长．
（2）当点N落在边AD上时，求t的值．
（3）当点P在CD上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）连结DQ，当直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分时，直接写出的值．
   

7 . 已知为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为(3，m)（m>0），线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的抛物线过点B、D．
（1）求点A的坐标（用m表示）；            
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(AC+EC)为定值．

8 . 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为BC上一点，以点O为圆心、OB的长为半径作圆，交BC于点F，交AB于点D，过点D作⊙O的切线，交AC于点E．

（1）求证：AE＝DE；
（2）若，CF＝2，BF＝10，求AD的长．

9 . 如图，已知：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P是对角线BD上的一个动点，作PF⊥BD于P，交边BC于点F（点F与点B、C都不重合），E是射线FC上一动点，连接PE、ED，并一直保持∠EPF=∠FBP，设B、P两点的距离为x，△DEP的面积为y
（1）求出tan∠PBF；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围
（3）当△DEP与△BCD相似时，求△DEP的面积

10 . 如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG,
（1）求证：直线EP为⊙O的切线；
（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG²=BF·BO.试证明BG=PG.
（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=.求弦CD的长.

1 . 问题背景
在中，，，，点、分别是边、上的动点，设，两点之间的距离为，、两点之间的距离为．
初步思考
（1）如图1，过点作的垂线，垂足为，连结、．当时，________；
深入探究
（2）如图2，若于，以，为邻边作平行四边形，当时，是否存在，使得平行四边形的顶点恰好落在的边上？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

拓展延伸
（3）如图3，连接、交于点，若，且满足，判断是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．

2 . 如图在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于B、A两点，点P从点A开沿y轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点Q从点A开始沿AB向点B运动（当P，Q两点其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动）如果点P，Q从点A同时出发，设运动时间为t秒．
（1）如果点Q的速度为每秒个单位长度，那么当t＝5时，求证：△APQ∽△ABO；
（2）如果点Q的速度为每秒2个单位长度，那么多少秒时，△APQ的面积为16？
（3）若点H为平面内任意一点，当t＝4时，以点A，P，H，Q四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出此时点H的坐标．

3 . 如图，抛物线（为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，直线的函数关系式为．

   

（1）求该抛物线的函数关系式与点坐标；
（2）已知点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线分别与直线和抛物线交于、两点，当为何值时，恰好是以为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当恰好是以为底边的等腰三角形时，动点相应位置记为点，将绕原点顺时针旋转得到（旋转角在到之间）；
①探究：线段上是否存在定点（不与、重合），无论如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出点坐标；若不存在，请说明理由；
②试求出此旋转过程中，的最小值．

4 . 如图，矩形中，，，、分别是、上的点，且，连结、．点是线段上的点，过点作交于点，设AP=x．

   

（1）求证：四边形是菱形；
（2）用含的代数式表示的长；
（3）连结，当为何值时．

5 . 在平面直角坐标系xOy中，的半径为r（），P是圆内与圆心C不重合的点，的“完美点”的定义如下：若直线CP与交于点A、B，满足，则称点P为的“完美点”，如图为及其“完美点”P的示意图.

（1）当的半径为2时，
①在点，，中，的“完美点”是________；
②若的“完美点”P在直线上，求PO的长及点P的坐标；
（2）的圆心在直线上，半径为2，若y轴上存在的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围.

6 . 如图1，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动，动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为，过点作于，交边于，线段的中点为，连接．
（1）当为何值时，与相似；
（2）在点、运动过程中，点、也随之运动，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由，若不发生变化，求的长；
（3）如图2，将沿直线翻折，得，连接，当为何值时，的值最小？并求出最小值．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B在x的负半轴上，△AOB的面积为8，作△AOB关于y轴的对称图形，点B的对应点为C．
（1）求线段OC的长；
（2）点D从A点出发，沿线段AO向终点O运动，同时点E从点C出发，沿x轴的正方向运动，且CE＝AD，连接DE交AC于点G，判断DG和EG的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，当∠CEG＝∠ABD时，求点G点坐标．

8 . 如图，AB，CD为的两条平行弦，过点A作的切线，交DC的延长线于点H，若H，O，B在同一条直线上，OH交于点M，过点O作AM的平行线，与AB，CD分别相交于点E，F．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．

9 . 已知点是线段上与点不重合的一点，且绕点逆时针旋转角得到绕点顺时针旋转角得到，连接

（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，当点在的延长线上时，求证： ；
（3）如图3，过的中点作，过的中点作， 与交于点，连接，若，求的长度.

10 . 如图1，在平面直角坐标系中，半径为1的与轴正半轴和轴正半轴分别交于两点，直线：与轴和轴分别交于两点．

（l）当直线与相切时，求出点的坐标和点的坐标；
（2）如图2，当点在线段上时，直线与交于两点（点在点的上方），过点作轴，与交于另一点，连结交轴于点．
①如图3，若点与点重合时，求的长并写出解答过程；
②如图2，若点与点不重合时，的长是否发生变化，若不发生变化，请求出的长并写出解答过程；若发生变化，请说明理由．
（3）如图4，在（2）的基础上，连结，将线段绕点逆时针旋转到，若点在的延长线时，请用等式直接表示线段，之间的数量关系．

1 . 如图，中，，点为上一点，且．交于，交的延长线于．

（1）求证：；
（2）若，，求．

2 . 如图，内接于，为的内心，延长分别交、于、两点，连结，若，，，求的长．

3 . 如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上．
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DG=x，当x取何值时，水池DEFG的面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树．