（双）8型相似 - 初中数学 - 困难

1 . 如图，正方形中，点为边上一点，四边形为平行四边形；点为对角线边上一点，，连接交于点；已知，，则正方形的边长为（     ）

A．8

B．

C．

D．

2 . 如图，点是反比例函数（）图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，，反比例函数（）的图象经过的中点，与，分别相交于点，．连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，．

（1）填空：_________；
（2）求的面积；
（3）求证：四边形为平行四边形．

3 . 马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究：
如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点；

（1）若，则_____；若，则_____；
如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点；
（2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小；
（3）若，求出此时的面积；
如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接．
（4）请直接写出的最小值．

4 . 如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点
求证：；
若，求的长；
如图2，连接，求证：．

5 . 如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足．

(1)求证：；
(2)如图2，已知，过点作于点．
①求的值；
②如图3，连接，若，求的长．

6 . 如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是________．

7 . 正方形中，，点是对角线上的一动点，将沿翻折得到，直线交射线于点．

(1)当时，求的度数用含的式子表示；
(2)点在运动过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，求出它的值若变化，请说明理由；
(3)若，求的值．

8 . 在矩形中，，的平分线交于点，交射线于点，交射线于点，取的中点，连接、．

(1)利用图①，求证：；
(2)若射线交射线于点，当时，请直接写出的面积；
(3)如图②，交于点，若，求的长．

9 . 如图，在中，，，过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转得到AN，过点C作交直线AN于点F，在AM上取点E，使．
（1）当AM与线段BC相交时，
①如图1，当时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 　　．
②如图2，当时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．
（2）当，时，若是直角三角形，直接写出AF的长．

10 . 抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．点为抛物线上的一个动点．过点作轴于点，交直线于点．
（1）求、的值；
（2）设点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，直接写出点的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的5倍？若存在，求出点所有的坐标；若不存在，请说明理由．

1 . 综合与探究
学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形．

初步探究：
(1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：
(2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由．
拓展延伸：
(3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值．

2 . 如图，抛物线交x轴于点，，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为，交直线l：于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．

3 . 如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点，与轴交于另一点．

(1)求二次函数表达式：
(2)如图②，点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接．
①求的最大值；
②当中某个角的度数等于的倍时，请直接写出此时的值；
③当时，的取值范围是，且，求的值．

4 . 如图，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，直线与轴交于点D，与轴交于点E，与直线BC交于点F．

（1）点F的坐标是________；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，，求点P的坐标；
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且时，求点G的运动时间．

5 . 如图，B，C，D，E四点均在⊙O上，连结，相交于点F，其中，，分别延长，相交于点A，若，则⊙O的半径为（     ）

A．

B．

C．

D．

6 . 如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，连接，交线段于点，若，求的值．
(3)如图2，已知抛物线的对称轴交轴于点，与直线，分别交于、两点．试问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

7 . 如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点．

(1)如图1，当时，猜想四边形的形状，并说明理由．
(2)如图2，当，时，请判断线段之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)若，，在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直接写出与重叠部分的面积．

8 . 如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为_________．

9 . 完成以下问题

(1)【问题发现】如图1，是正方形的边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点G．若，则线段的长是______；
(2)【类比应用】如图2，是菱形的对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，交于点．若，，求线段的长；
(3)【拓展探究】如图3，在四边形中，，且，，是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，射线交射线于点．当时，请直接写出线段的长．

10 . 在中，，，，点D是边上的动点．连接，作，如图所示，，，连接．则的最小值是________．

1 . 菱形中，点E为边上一动点，射线与的延长线交于点F，连接，射线与交于点G．

(1)如图1，E为中点，．
①求证：；
②若，求线段的长；
(2)如图2，点H在边AD上，若，，线段的长为________．

2 . 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离．

3 . 二次函数的图象经过点，，与y轴交于点，点为第二象限内抛物线上一点，连接，交于点，过点作轴于点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)判断：是否有最大值？如有请求出最大值及此时点的坐标，如没有请说明理由；
(3)连接，当时，求直线的表达式．

4 . 在中，分别为边上的点，与相交于点．

(1)若；
①_____；
②，则_____；
(2)若，，_____．

5 . 综合与实践：
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在中，点P是边上一点．将沿直线折叠，点D的对应点为E．
“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形是菱形．

(1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题；
(2)拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接．试判断与的位置关系，并说明理由．
请你帮助他们解决此问题．
(3)问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在边上时，，，．则的长为___________．（直接写出结果）

6 . 如图，在平行四边形中，，，点E为射线上一动点，且，连接，将线段所在直线绕点D顺时针旋转交延长线于点H，所在直线与射线交于点G．
（1）如图1，当时，求证：≌；
（2）当时，
①如图2，连接，求证：∽；
②若，，，请直接写出的长．

7 . 如图，在等边边长为6，O是中心；在中，，，．将绕点A按顺时针方向旋转一周．

(1)当、分别在、边上，连结、，求的面积；
(2)设所在直线与的边或交于点F，当O、D、E三点在一条直线上，求的长；
(3)连结，取中点M，连结，的取值范围为_________．

8 . 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S_△ABF：S_{四边形CDEF}＝2：5，其中正确的结论有（       ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

9 . 如图，一人站在两等高的路灯之间走动，为人在路灯照射下的影子，为人在路灯照射下的影子．当人从点走向点时两段影子之和的变化趋势是（   ）

A．先变长后变短	B．先变短后变长
C．不变	D．先变短后变长再变短

10 . 如图，在正方形中，点为边上一点，且，点为对角线上一点，且，连接交于点，过点作于点，若，则正方形的边长为_______cm．

1 . 如图，是的直径，半径，垂足为O，直线l为的切线，A是切点，D是上一点，的延长线交直线l于点是上一点，的延长线交于点G，连接，已知的半径为3，，．

（1）求的长；
（2）求的值及的长．

2 . 如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，等腰△CDE，CD＝DE，∠BAC＝∠EDC，DE交BC于点M，连接BE．
（1）如图1，若∠BAC＝30°，AC＝3，AD，求DE的长度；
（2）如图2．若DM⊥BC求证：2MB+EB＝BC．
（3）如图3，∠A＝30°，AC∥DE，CN⊥AB，EF⊥CE，延长DB至点H，使得DH＝DE，试判断FM与FN的数量关系，并写出证明过程．

3 . 某数学兴趣小组在学习了“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似”等知识后，发现添加“平行线”是解决很多图形问题的重要方法．如图，点D是的边上一点，连接．

(1)如图①，若平分，请用添加“平行线”的方法证明：；
(2)如图②，若，，，求的值．

4 . 如图，在中，，，点是的中点，连结，过点作，分别交、于点、，与过点且垂直于的直线相交于点，连结．给出以下五个结论：①；②；③点是的中点；④；⑤．其中正确结论的序号是________．

5 . 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D为AB上一点，连接CD，分别过点A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．
（1）求证：AN＝CM；
（2）若点D满足BD：AD＝2：1，求DM的长；
（3）如图2，若点E为AB中点，连接EM，设sin∠NAD＝k，求证：EM＝k．

   

6 . 如图，正方形边长为，点是上一点，且，连接，过作，垂足为，交对角线于，将沿翻折得到，交对角线于，则______．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，平行四边形的顶点在轴上，在轴上，，，的角平分线交边于点．

(1)求点坐标；
(2)如图，一动点从点出发沿射线以每秒个单位的速度运动，运动时间为，连接，设的长为，试用含的代数式表示，不需要写出的取值范围；
(3)在（）的条件下，连接交于点，连接并延长交于点，若平分，，求点的坐标．

9 . 如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点．
（1）求证：∠BDE=∠ACD；
（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；
（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．
①求证：AB·BE=AD·BC；
②若DE=4DF，请直接写出S_ΔABC:S_ΔDEC的值．

10 . 【问题背景】如图1，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，求证：BA²＝BD•BC；
【尝试应用】如图2，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，点E在边AB上，点G在AB的延长线上，延长ED交CG于点F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的长度；
【拓展创新】如图3，在△ABC中，点D在边BC上（AB≠AD）且满足∠ACB＝2∠BAD，DH⊥AB垂足为H，若，请直接写出的值________．

1 . 如图，已知一次函数的图象与坐标轴分别交于A、B点，AE平分，交轴于点E．

   

（1）直接写出点A和点B的坐标．
（2）求直线AE的表达式．
（3）过点B作BFAE于点F，过点F分别作FD//OA交AB于点D，FC//AB交轴于点C，判断四边形ACFD的形状并说明理由，求四边形ACFD的面积．

2 . 已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．

3 . 已知：在中，，于点，点在直线上，，，，则的面积是______．

4 . 如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为________；
（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为_______．

5 . 如图，已知二次函数y＝ax²+c的图象与x轴分别相交于点A（﹣5，0），点B，与y轴相交于C（0，﹣5），点Q是抛物线在x轴下方的一动点（不与C点重合）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）如图1，AQ交线段BC于D，令t＝，当t值最大时，求Q点的坐标．
（3）如图2，直线AQ，BQ分别与y轴相交于M，N两点，设Q点横坐标为m，S₁＝S_△QMN，S₂＝2m²，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

6 . 【问题背景】通过轴对称的性质，我们可知：对称轴上的任意一点到对称点的距离相等．利用这个结论，我们可以找到任意一对成轴对称关系的图形的对称轴．

(1)【操作】如图①，点和点关于直线l对称，请利用直尺和圆规作出直线l（保留作图痕迹，不必写作法），并在直线l上取一点P（点P不与点、点共线）、连结线段和线段，直接写出和的数量关系：______；
(2)【探究】如图②，在矩形中，，，分别为边上的动点，且，将右侧的矩形沿所在直线进行翻折，的对应边记为，连接．交于点G，试判断与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展】如图③，在【探究】的条件下，连结，点在运动过程中，直接写出的最小值．

7 . 如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B₁C₁⊥AC于C₁交AB的延长线于B₁．
（1）请你探究：，是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．

   

8 . （1）问题背景：如图1，正方形ABCD中，F在直线CD上，E在直线BC上．若∠EAF＝45°，求证：BE＋FD＝EF；
（2）迁移应用：如图2，将正方形ABCD的一部分沿GH翻折，使A点的对应点E在BC上，且AD的对应边EM交CD于F点．若BE＝3，EC＝2，求EF的长；
（3）联系拓展：如图3，正方形ABCD中，E、Q在CD上，F在BC上，若EF＝EA，∠FQA＝∠FEA．若∠CFQ＝34°，则∠QAD＝_______°．

9 . 如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．
（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；
（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG²=AF•AC．

10 . 在中，，，，是斜边上一点，过点A作，垂足为，的延长线交于点．

（1）当时，求线段的长；
（2）当时，求线段的长．

1 . 在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点A（0，m），点C（n，0），且m、n满足+＝0．
（1）求点A、C的坐标；
（2）如图1，点D为第一象限内一动点，连CD、BD、OD，∠ODB＝90°，试探究线段CD、OD、BD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图2，点F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），的值是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，求出其值．

2 . 如图，等腰中，，点A、B分别在坐标轴上．

(1)如图①，若C点的横坐标为5，求B点的坐标；
(2)如图②，若轴恰好平分，交轴于点M，过C点作轴于D点，求的值；
(3)如图③，若点A的坐标为，点B在轴的正半轴上运动时，分别以、为边在第一、第二象限作等腰，等腰，连接交轴于P点，当点B在轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值，若变化，求的取值范围．

3 . 如图，在正方形中，点E在对角线上，，过点E的直线分别交，于点M，N．

（1）当时，的长为________，________；
（2）已知．
①若，求此时的长；
②当E，F为的三等分点，点P在正方形的边上时，是否存在满足的情况？如果存在，请通过分析指出这样的点的个数；如果不存在，说明理由．

4 . 如图，把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，点C（-1，0），点B在反比例函数的图像上，且y轴平分∠BAC，则k的值是_________．

5 . 如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D，连结BD交AC于点F．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若∠BAC＝60°，BC＝3，当AF将△ABD的面积分为1：2两部分时，求△ADF与△BCF的面积比值．
（3）将C点关于AD的对称点记为点C'，当BC'＝BD时，写出AD与半径r的数量关系，并说明理由．

6 . 如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE．
（1）求证：DH＝CE；
（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长；
（3）设正方形ABCD的面积为S₁，四边形DEGH的面积为S₂，当时，值为　　 　 　．（直接写答案）

7 . 如图1，分别是的内角的平分线，过点 作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，如果，且，求；
（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．

8 . 如图在平面直角坐标系，抛物线与轴交于、两点，点、分别位于原点的左、右两侧，且．

   

（1）求，的值；
（2）如图，抛物线与轴交于点，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）如图，点为直线上一点，点为抛物线上一点，当是等腰直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．

9 . 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M；
（1）已知，两点，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S₁，△ABE的面积为S₂，求的最大值；
（3）如图2，过点C的直线PQ与抛物线交于另一 点P（点P在对称轴右侧），点Q在PC的延长线上，连结OP，OQ，MP和MQ．若b＝﹣2，PC=3QC，是否存在这样的点P，使四边形POQM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

10 . 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4．点E，F分别在AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点．
（1）连接AF，CE，求证：四边形AFCE是菱形；
（2）当△PEF的周长最小时，求的值．

1 . 如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB于点O，点D是的中点，连接CD、OD．下列四个结论：①ACOD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④∠ADC=∠BOD．其中正确结论的序号是（     ）

A．①④

B．①②④

C．②③

D．①②③④

2 . 王老师在一次校内公开课上展示“探析矩形折叠问题”内容，引起了同学们的广泛兴趣，他们对折纸进行了如下探究．如图有一矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝8，点Q为边BC上一个动点，将纸片沿DQ折叠，点C的对应点为点E．
（1）如图1，当射线DE与边BC的交点F到点C的距离为3时，求CQ的长；
（2）如图2，记射线QE与边DA的交点为P，若AP＝3，则CQ的长为　　．

（3）如图3，G为AD上一点，且GD＝2，连接AE、CE．
①试判断AE﹣2GE的值是否能若点Q的位置变化而变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由；
②连接BE，当AE+2EB的值最小时，直接写出E到边AD的距离为　 　．

3 . 如图①，在中，，为边上的中线，，线段交于点．

（1）若，，求的长；
（2）如图②，取外一点，连接，，，，与交于点，若，，，．
①求的值；
②求证：．

4 . 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于E，F两点，且∠MAN=45°，则下列结论：①MN=BM+DN；②△AEF∽△BEM；③=；④△FMC是等腰三角形．其中正确的是______．（填写正确序号）

5 . 如图1：抛物线y＝ax²+bx﹣4交x轴于点A、B，连接AC、BC，tan∠ABC＝1，tan∠BAC＝4．

(1)抛物线的解析式为 　 　；
(2)点P在第三象限的抛物线上，连接PC、PA，若点P横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)如图2，在（2）的条件下，当S＝6时，点G为第四象限抛物线上一点，连接PG，CH⊥PG于点H，连接OH，若tan∠OHG，求GH的长．

6 . 已知，抛物线y＝x²﹣x+与x轴分别交于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点F．
（1）A点坐标为　 　；B点坐标为　 　；F点坐标为　 　；
（2）如图1，C为第一象限抛物线上一点，连接AC，BF交于点M，若BM＝FM，在直线AC下方的抛物线上是否存在点P，使S_△ACP＝4，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，D、E是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线AD、AE分别交y轴于M、N两点，若OM•ON＝，求证：直线DE必经过一定点．

7 .    如图，正方形的边长为，点是射线上的一个动点，连接并延长，交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处．

   

（1）当时，如图，延长，交于点，
①的长为________；
②求证：．
（2）当点恰好落在对角线上时，如图，此时的长为________；________；
（3）当时，求的正弦值．

8 . 如图，等边中，，点在上，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动，关于的轴对称图形为．

（1）当为何值时，点在线段上；
（2）当时，求与的数量关系；
（3）当点、、三点共线时，求证：点为线段的中点．

9 . 如图1，A（﹣4，0）．正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．

   

（1）如图2，若α＝60°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式．
（2）若α为锐角，tanα＝，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．
（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由．

10 . 如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AD=BE，CD与AE交于F．

（1）求∠AFD的度数；
（2）若BE=m，CE=n．
①求的值；（用含有m和n的式子表示）
②若=，直接写出的值．

1 . 如图1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分别是AB，BC上一点，AD＝2，CE＝3，OE与CD相交于点F．

（1）求证：OE⊥CD；
（2）如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H，求CH的长．

2 . 如图，在正方形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长交于点，若的面积为1，则的面积为__________．

3 . 如图，以AD为直径的⊙O交AB于C点，BD的延长线交⊙O于E点，连CE交AD于F点，若AC＝BC．
（1）求证：；
（2）若，求tan∠CED的值．

4 . 已知如图，这正方形ABCD中，AB＝4，M是边AD的中点，E是边AB上的一个动点，GM⊥EM交边DC于点P，交边BC的延长线于点G，延长EM交边CD的延长线与F，连接FG
（1）求证：△AME∽△CPG；
（2）设A，E两点的距离为x，△CFG的面积为y，求x，y之间的函数关系式及定义域；
（3）当△PFG时等腰三角形时，求AE的长．

5 . 已知：矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是线段AD上一点，连接CP，点E在对角线AC上（不与点A，C重合），∠CPE＝∠ACB，PE的延长线与BC交于点F．
   
（1）如图1，当AP＝2时，求CF的长；
（2）如图2，当PF⊥BC时，求AP的长；
（3）当△PFC是等腰三角形时，求AP的长．

6 . 如图，在中，、分别是、的中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时，_____．

7 . 在矩形中，，点在直线上，且，连接和交于点，若，则的长为______．

8 . 如图，已知和是等边三角形，连接，连接并延长交于点，交于点，，，那么的长为______．

9 . 如图，四边形 ABCD 中，AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，∠ABD+∠BCD＝180°，对角线AC、BD 相交于点 E，H 为 BD 的中点．若 CE＝1，则 CH 长为___________．

10 . 如图，已知一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在轴正半轴上，点在射线上，且．垂直轴于点．
点坐标为________，点坐标为________．
操作：将一足够大的三角板的直角顶点放在射线或射线上，一直角边始终过点，另一直角边与轴相交于点．问是否存在这样的点，使以点，，为顶点的三角形与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

1 . 如图，在中，，，以为直径作半圆交于点，过点的切线交于点，交于点，的延长线与相交于点，若，求，的长．

2 . 如图，为等边三角形，过边上点D作，交于点G，在的延长线上取点E，使，连接，．过点E作，交于点F，交于点H，连接．
（1）求证：；
（2）设，，求y关于x的函数关系式；
（3）连接，若于点F，求的值．

3 . 如图，已知抛物线＝与轴交于、两点，与轴交于点，且＝．
   
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点是线段上的一个动点（不与、重合），分别以、为一边，在直线的同侧作等边三角形和，求的最大面积，并写出此时点的坐标；
（3）如图，若抛物线的对称轴与轴交于点，是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，直线与轴交于点．是否存在点，使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，其中a，b满足，连接、．

（1）求点B的坐标．
（2）动点以每秒2个单位长度的速度，从点出发，沿轴正半轴匀速运动，设点的运动时间为秒，请用含有的式子表示的面积
（3）在（2）的条件下，在负半轴上取一点，使，连接．是内部一点，连接、、与轴的交点坐标是，连接并延长交于，若，且．求当为何值时，．

5 . 某小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m、20m的梯形空地上种花（如图所示）．
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m².当△AMD地带种满花后（图中阴影部分）花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；
（2）若△AMB和△DMC地带要种的有玫瑰花和茉莉花可供选择，单价分别为12元/m²和10元/m²，应选择哪一种花，刚好用完所筹集的资金？

6 . 如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A，B分别在y轴、x轴的正半轴上．的两条外角平分线交于点P，且点P在反比例函数的图象上．的延长线分别交x轴、y轴于点C，D，连结．则的面积是（       ）

A．8

B．

C．16

D．