（双）A字型相似 - 初中数学 - 困难

1 . 如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为__________．

2 . 如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足．

(1)求证：；
(2)如图2，已知，过点作于点．
①求的值；
②如图3，连接，若，求的长．

3 . 如图，在矩形中，，，、分别是、边上的动点，，则的最小值为__________．

4 . 矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．

   

5 . 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，和分别是轴正半轴和线段上的动点，满足，连接，则的最大值是___________．

6 . 如图，在中，，点在线段上(点不与点，重合)，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，于点，与交于点．

(1)如图①，求证：；
(2)如图②，连接，求证：；
(3)如图③，设与交于点，与交于点，当时，求的面积．

7 . 如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点，与轴交于另一点．

(1)求二次函数表达式：
(2)如图②，点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接．
①求的最大值；
②当中某个角的度数等于的倍时，请直接写出此时的值；
③当时，的取值范围是，且，求的值．

8 . 在锐角中，分别以AB和AC为斜边向的外侧作等腰和等腰，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①，②，③，④，其中结论正确的个数为（       ）

A．4

B．3

C．2

D．1

9 . 如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．

10 . 如图1，在中，为直径，为圆上一动点（不与重合），于点G，为上的一动点，延长交的延长线于点，连结．

(1)若．求的度数．
(2)若，，求的长．
(3)如图2，若，，，求的长．

1 . 如图，B，C，D，E四点均在⊙O上，连结，相交于点F，其中，，分别延长，相交于点A，若，则⊙O的半径为（     ）

A．

B．

C．

D．

2 . 完成以下问题

(1)【问题发现】如图1，是正方形的边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点G．若，则线段的长是______；
(2)【类比应用】如图2，是菱形的对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，交于点．若，，求线段的长；
(3)【拓展探究】如图3，在四边形中，，且，，是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，射线交射线于点．当时，请直接写出线段的长．

3 . 在中，分别为边上的点，与相交于点．

(1)若；
①_____；
②，则_____；
(2)若，，_____．

4 . 如图，在三角形中，点D为边的中点，连接，将三角形沿直线翻折至三角形平面内，使得B点与E点重合，连接、，分别与边交于点H，与交于点O，若，，，则点A到线段的距离为__________．

5 . 中，，，于，点在线段上，点在射线上，连接，，满足．

(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点，连接，若，．当最小时，直接写出的面积．

6 . 如图，在平行四边形中，，，点E为射线上一动点，且，连接，将线段所在直线绕点D顺时针旋转交延长线于点H，所在直线与射线交于点G．
（1）如图1，当时，求证：≌；
（2）当时，
①如图2，连接，求证：∽；
②若，，，请直接写出的长．

7 . 如图，在中，垂直平分边，垂足为点，交于点，点为的中点，连接与交于点．若，则下列结论错误的是（     ）．

A．

B．

C．

D．

8 . 如图，∠MPN=90°，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B分别在边PM、PN上移动，连接PC，Q为PC上一点，且PQ=2QC，则线段BQ长度的最小值为_______．

9 . 如图，中，点D在边上，且．

（1）求证：；
（2）点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数．
（3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长．

10 . 如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则__________

1 . 如图，正方形边长为，点是上一点，且，连接，过作，垂足为，交对角线于，将沿翻折得到，交对角线于，则______．

2 . 如图，在平行四边形中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为.当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点作交于点，连接，交于点.设运动时间为.解答下列问题：

（1）当为___________时，？
（2）连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式.
（3）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
（4）若点关于的对称点为，是否存在某一时刻，使得点，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

3 . 如图，在中，，，，点为中点，动点从点出发，沿方向向终点运动．连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．

(1)线段的长为      ；
(2)当时，求点到的距离；
(3)当点在边上运动，被的边平分时，的面积是      ；
(4)当直线将面积分成两部分时，直接写出的长．

4 . 已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．

5 . 在矩形中，，，点是边上一点，交于点，点在射线上，且是和的比例中项．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当点在线段之间，联结，且与互相垂直，求的长；
（3）联结，如果与以点、、为顶点所组成的三角形相似，求的长．

6 . 如图，函数（为常数，）的图象与过原点O的直线相交于A、B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接BM分别交x轴、y轴于点E、F．若，则 ________．

7 . 已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，连接AC，将三角形ABC沿AC翻折，使B点落在E点处，连接EC，AE，AE交DC于F点．

(1)求DF的长．
(2)若将△CEF沿着射线CA方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点C沿CA方向所经过的线段长度）．当点F平移到线段AD上时，如图②，求出相应的m的值．
(3)如图③，将△CEF绕点C逆时针旋转一个角a（0°＜a＜∠ECB），记旋转中的△CEF为△CE′F′，过E′作E′G⊥AD于G点，在旋转过程中，当△DCE′为等腰三角形时，求出线段E′G的长度．

8 . 雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8m；然后雯雯向前移动1.5m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6m．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB．

9 . 已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．
（1）当CF＝2时，求线段BN的长；
（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．

10 . 如图，在中，，，动点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动；同时，动点从点出发沿方向以每秒的速度向终点运动，将沿翻折，点的对应点为点，设点运动的时间为秒，若四边形为菱形，则的值为________．

   

1 . 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，P，Q两点同时从C出发，点P 以每秒2个单位长度的速度沿CB向终点B运动；点Q 以每秒1个单位长度的速度沿CA向终点A运动，以CP，CQ为邻边作矩形CPMQ．当点P停止运动时，点Q继续向终点A运动．设点Q的运动时间为t秒．

（1）在点P的运动过程中，CQ＝________，BP＝________（用含t的代数式表示）；
（2）当点M落在AB边上时，t ＝_________s；
（3）设矩形CPMQ与△ABC重合部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

2 . 如图,在中，，，高，矩形的一边在边上，、分别在、上，交于点．

(1)求证：；
(2)设，当为何值时，矩形的面积最大?并求出最大面积；
(3)当矩形的面积最大时，该矩形以每秒个单位的速度沿射线匀速向上运动(当矩形的边到达点时停止运动)，设运动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围．

3 . 如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是_____．

4 . 如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且＝m，＝n．
（1）若点O是线段BC中点．
①求证：m+n＝2；
②求mn的最大值；
（2）若＝k（k≠0）求m，n之间的关系（用含k的代数式表示）．

5 . 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D、E与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CE的长是________．

6 . 已知点P为线段AB上的一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；点M是AD的中点，联结BM、CM．

（1）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（2）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（3）如果点P不在线段CM上（如图12），当点P在线段AB上运动时，的正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出的正切值．

7 . 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使得AE＝AB，联结DE、AC．点F在线段DE上，联结BF，分别交AC、AD于点G、H．
（1）求证：BG＝GF；
（2）如果AC＝2AB，点F是DE的中点，求证：AH²＝GH•BH．

8 . 如图，抛物线的表达式为，它的图像的顶点为A，与x轴负半轴相交于点B、点C（点B在点C左侧），与y轴交于点D，连接交抛物线于点E，且．

(1)求点A的坐标和抛物线表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的内心也在对称轴上，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接，点Q是y轴左侧抛物线上的一点，若以Q为圆心，为半径的圆与直线相切，求点Q的坐标．

9 . 如图1，在平面直角坐标系中，直线l₁：和直线l₂：的图象交于y轴上的点C，且分别交x轴于点A和点B．
（1）求ABC的面积；
（2）已知点N为点C关于原点O的对称点，点M是直线AC上一动点，连接BM、BN，MN．求BMN周长的最小值；
（3）如图2，P为射线AO上一动点，过P作PH⊥AC于H，连接PC，是否存在△PCH为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

10 . 如图，在矩形的边上取一点，连接并延长和的延长线交于点，过点作的垂线与的延长线交于点，与交于点，连接．

（1）当且时，求的长；
（2）求证：；
（3）连接，求证：．

1 . 如图，矩形中，为原点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为（4,3），抛物线与轴交于点，与直线交于点，与轴交于两点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接，设运动时间为（秒）.
①当为何值时，得面积最小？
②是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由.

2 . 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为，连接．

（1）求证：直线与相切；
（2）若，，求的长．

3 . 如图1，平行四边形的对角线，相交于点，边的垂直平分线交于点，连接，．

（1）过点作交于点，求证：；
（2）如图2，将沿翻折得到．
①求证：；
②若，，求的长度．

4 . 如图，在中，，取的中点，连接，点关于线段的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接、、、，已知，，，，当的值最小时，则的值为（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 在平面直角坐标系中，已知，，点是轴正半轴上一动点，以为直角边构造直角，另一直角边交轴负半轴于点，为线段的中点，则的最小值为______．

6 . 如图，已知矩形ABCD的边长，，动点M从A出发在边AB上以的速度向B点匀速运动，同时，动点N从D出发在边DA上以的速度向A点匀速运动，MN与AC相交于点Q．

   

（1）经过多少时间，的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当时，求NQ的长．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B的坐标分别为A(4，0)、B(4，3)，动点M、N分别从点O、B同时出发，以1单位/秒的速度运动(点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动)，过点N作交AC于点P，连结MP．
（1）直接写出OA、AB的长度；
（2）试说明；
（3）在两点的运动过程中，求的面积S与运动的时间t的函数关系式，并求出时，运动时间t的值．

8 . 如图，把边长为，且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长．

9 . 如图，P为⊙O的直径AB上的一个动点，点C在AB上，连接PC，过点A作PC的垂线交⊙O于点Q．已知AB=5cm，AC=3cm，设A，P两点间的距离为xcm，A，Q两点间的距离为ycm．

   

某同学根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究．下面是该同学的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了x与y的几组值，如下表：

x(cm)	0	1.0		2.5	3.0	3.5	4.0	5.0
y(cm)	4.0	4.7	5.0	4.8		4.1	3.7

（说明：补全表格时的相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

   

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AQ=2AP时，AP的长度约为______cm．

10 . 如图，在中，，，，点D为边的中点，点E为上一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转至，连结．

(1)线段的长为___________ ；
(2)当时，求线段的长；
(3)当点F落在内部时，求的取值范围；
(4)当与的某一边平行时，直接写出线段的长．

1 . 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，点P在边AB上，若△APC为以AC为腰的等腰三角形，则tan∠BCP=________．

2 . 如图，在中，，，cm，点从点出发，沿以2cm/s的速度向终点运动，当点与点、不重合时，过点作交射线于点，以、为邻边向上作平行四边形，设点的运动时间为，平行四边形与的重叠部分图形的面积为．
（1）填空：______，______；
（2）当点在上时，求的值；
（3）求与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．

3 . （1）问题提出：如图（1），在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为AC上一点且AD＝2，过点D作直线DE交△ABC于点E，使得△ABC被分成面积相等的两部分，则DE的长为　 　．
（2）类比发现：如图（2），五边形ABOCD，各顶点坐标为：A（3，4），B（0，2），O（0，0），C（4，0），D（4，2）请你找出一条经过顶点A的直线，将五边形ABOCD分为面积相等的两部分，求出该直线对应的函数表达式．
（3）如图（3），王叔叔家有一块四边形菜地ABCD，他打算过D点修一条笔直的小路把四边形菜地ABCD分成面积相等的两部分，分别种植不同的农作物，已知AB＝AD＝200米，BC＝DC＝200米，∠BAD＝90°过点D是否存在一条直线将四边形ABCD的面积平分？若存在，求出平分该四边形面积的线段长：若不存在，请说明理由．

4 . 已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC＝．
（1）写出点B的坐标；
（2）在x轴上找一点D，连接BD，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿AB向点B运动，同时点Q从点D出发，以1cm/秒的速度沿DA向点A运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t．问是否存在这样的t使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．

5 . 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点的顶点、的坐标分别为，．顶点在轴的正半轴上，，．

（1）求的长度．
（2）动点从出发，沿轴负方向以每秒个单位的速度运动，设的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示，并直接写出相应的取值范围．
（3）在（2）的条件下，在射线上取一点，使，过作交直线于点，当时，求值和点坐标．

6 . 如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，）、D（0，），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．

   

（1）①点B的坐标是　　 ；
②当点Q与点A重合时，点P的坐标为　　 ；
（2）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式及相应的自变量x的取值范围．

7 . 如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．

（1）求证：△DEC≌△EDA；
（2）求DF的值；
（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，顶点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．

8 . 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别为BC，AC上的两个动点，将△CEF沿EF折叠，点C的对应点为G，若点G落在射线AB上，且△AGF恰为直角三角形，则线段CF的长为___

9 . 在等腰三角形中，，作交AB于点M，交AC于点N．

   

（1）在图1中，求证：；
（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作交CM于点E，作交BN于点F，
求证：①；
②．

10 . 折纸过程中蕴含着很多数学知识，我们选取纸片的折叠问题进行探究：

操作1：如图1，将矩形纸片沿（是上一点）折叠，点落在点处，连接并延长交于点，过点折叠，折痕．
探究1：与之间的关系是_______，由此可得出线段之间的关系是_________．
操作2：取任意三角形纸片，将其沿折叠，使与重合，得折痕后展平，过点折叠，使折痕（如图2）．
探究2：请用图2证明之间的关系仍然成立（不另添加辅助线）．
领悟：此结论是三角形角平分线的一个重要性质．
应用：如图3，直线和相交于点，直线与轴交于点，是的平分线，交轴于点，求点的坐标．