（双）A字型相似 - 初中数学 - 适中

1 . 如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长．

2 . 如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（   ）

A．

B．

C．

D．

3 . 如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S₁，S₂．若，则的值是（　　）

   

A．24

B．12

C．6

D．10

4 . 如图，，分别是与边上的高．
求证：．

5 . 如图，在中，分别为上的三等分点，若，则（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G．

(1)求正方形的边长；
(2)求的长．

7 . 如图，，点在上，与交于点，，，求的长．

   

8 . 如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部G；当他向前再步行12米到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部D，已知小华的身高是米，两个路灯的高度都是米，且；

(1)求两个路灯之间的距离；
(2)当小华走到路灯B的底部D时，他在路灯A下的影长是多少?

10 . 如图，已知和是等腰直角三角形，其中，且E是中线的中点，连接，若，则线段的长为（       ）

A．

B．2

C．

D．

1 . 如图，在中，为的对角线，请用尺规作图法在的延长线上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）

2 . 如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．

3 . 如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．
（1）求证：DFBE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．

4 . 一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度．如图，当李明走到点处时，张龙测得李明直立时身高与影子长正好相等；接着李明沿方向继续向前走，走到点处时，李明直立时身高的影子恰好是线段，并测得，已知李明直立时的身高为，求路灯的高的长．（结果精确到．

5 . 如图，在中，，，，点是的中点，点在上，，连接．

(1)求证：；
(2)的值为      ．

6 . 如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．

7 . 如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为，求AP的长．

8 . 一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．

（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？

9 . 如图，中，中线，交于点，交于点．

（1）求的值．
（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明．

10 . 如图点为半径为的内一点，为射线上一点，如果满足，则称两点为互为反演点，已知：如图，两点及两点分别为的互为反演点．

(1)求证：；
(2)中，，延长与相交于点，求证：是的切线．

1 . （1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：；
（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图3，求证MN²=DM·EN．

2 . 小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：

如示意图，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度 m， m， m（点 在同一直线上）．
已知小明的身高是1.7m，请你帮小明求出楼高 （结果精确到0.1m）．

3 . 如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．

（1）求证：△PCQ∽△RDQ；
（2）求BP：PQ：QR的值．

4 . 如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，点D在△ABC内，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为（　　）

A．5

B．

C．5或

D．6

5 . 一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．

6 . 如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（　　）

A．2对

B．3对

C．4对

D．5对

7 . 如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，点D为圆上一点且∠ADC=∠AOF，OF⊥AD于点E，交CD于点F．

（1）判断CD与⊙O的位置关系；
（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．

8 . 直线l₁∥l₂∥l₃，且l₁与l₂的距离为1，l₂与l₃的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l₂交于点D，则线段BD的长度为

A．

B．

C．

D．

9 .
中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?
（2）若的面积为，求关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似?

10 . 如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于_________．

1 . 在中，，D为上一点，过D作DEBC交于点E，连接．设，求的取值范围．

2 . 如图，正方形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的边长．

   

3 . 大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，大雁塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，大雁塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与大雁塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度．

4 . 如图，在中，点分别在上，且．

（1）求证：；
（2）若点在上，与交于点，求证：．

5 . 如图，、是锐角的两条高线，则图中与相似三角形有______个．

6 . 在矩形ABCD中，，，点E 是AD上一动点，过点E作EF∥BD交AB于F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点落在△BCD的边上时，AE的长为_____________．

7 . 矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是对角线，动点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；动点Q从点C出发沿CD方向向点D匀速运动，速度为2cm/s．过点P作BC的垂线段PH，运动过程中始终保持PH与BC互相垂直，连接HQ交AC于点O．若点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s）（0＜t＜1.5），解答下列问题：

（1）求当t为何值时，四边形PHCQ为矩形；
（2）是否存在一个时刻，使HQ与AC互相垂直？如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由；
（3）是否存在一个时刻，使矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的，如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由．

8 . 如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（　　）

   

A．9

B．12

C．15

D．18

9 . 如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE
（1）求证：PC∥AE；
（2）若sin∠P＝，CF＝5，求BE的长．

   

10 . 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB＝10，BF＝，求AE的长．

   

1 . 如图，AB是的直径，D为AB上一点，C为上一点，且，延长CD交于点E，连接CB．
（1）求证：；
（2）若，求的值．

2 . 有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．

3 . 【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．

【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
【定理应用】如图②，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE = 2BE，点F在边CB上，CF= 2BF．O为AC的中点，连结EF、OE、OF．
（1）EF与AC的数量关系为__________．
（2）与的面积比为___________．

4 . 如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，圆是的外接圆．

（1）求证：为圆的切线；
（2）若，，求圆的半径．

5 . 如图，已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE．
（1）求证：AG与⊙O相切．
（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．

6 . 如图，小杨将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝5cm，AB＝3cm，则⊙O的半径长为_____．
   

7 . 求证：一个人在两个高度相同的路灯之间行走，他前后的两个影子的长度之和是一个定值．

8 . 如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上．
（1）求正方形DEFG的边长；
（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ．

9 . 陕西省西安市罗汉洞村观音禅寺内有一棵千年银杏树，据传是当年唐太宗李世民亲手栽种，距今已有1400多年历史，已被国家列为古树名木保护名录．小华是一位数学爱好者，想利用所学的知识测量这棵银杏树的高度．阳光明媚的一天，小华站在点D处利用测倾器测得银杏树顶端A的仰角为39°，然后着DM方向走了19米到达点F处，此时银杏树的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合，小华身高EF＝1.7米，测得FG＝3米，测倾器的高度CD＝0.8米，已知AB⊥BG，CD⊥BG，EF⊥BG．请你根据以上信息，计算银杏树AB的高度．（参考数据：sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8）

10 . 如图，小军、小丽、小华利用晚间放学时间完成一个综合实践活动，活动内容是测量人行路上的路灯高度．小军和小丽分别站在路灯的两侧，小军站在水平地面上的点处，小丽站在点处，这时小军的身高形成的影子为，小丽身高形成的影子为．

（1）请画图确定灯泡的位置
（2）已知小军和小丽的身高分别为1.8米和1.6米，小华测得小军和小丽在路灯下的影子和分别为1米和2米，小军和小丽之间的距离为10米，点，，，在同一条直线上，请帮助他们3人求出路灯的高度．

1 . 如图，BD为的直径，交BC于．
（1）求AB的长．
（2）延长DB到F，使得，求证：直线FA与相切．

2 . 如图，在中，，，．若动点从点出发，沿射线运动，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为．

（1）求出关于的函数关系式；
（2）当为何值时，的面积有最大值或最小值，最大值或最小值为多少？

3 . 在图中；如图，在正方形中，延长至，使，连结交延长线于点.
（1）求证：；
（2）如图，连结交于点，连结交于点.若，且，则线段______.

4 . 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（　　）

A．

B．3

C．2

D．1

5 . 如图，是用杠杆撬石头的示意图，是支点，当用力压杠杆的端时，杠杆绕点转动，另一端向上翘起，石头就被撬动，现有一块石头，要使其滚动，杠杆端必须向上翘，已知杠杆上的与长度之比为，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端向下压多少厘米？

6 . 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD＝∠A．
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若AD：AO＝8：5，BC＝2，求BD的长．

7 . 如图，，，求证：．

8 . 有这样一道题：已知：如图（1），点在内部，连，，，点，，分别在，，上，且，，．

（1）求证： ∽；
（2）若将这题图（1）中的点移到外，如图（2），其他条件不变，试   问：与有何关系？请你完成图（2），写出你的结论（不需证明）．

9 . 平行于BC的直线DE把△ABC的面积平分，且交边AB、AC分别于点D、E，则的值为__________．

10 . 如图，已知：梯形中，，、交于点，是延长线上一点，点在上，且．求证：．

1 . 在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF. 连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF,设OD＝t.

⑴ 求tan∠FOB的值；
⑵用含t的代数式表示△OAB的面积S；
⑶是否存在点C,使以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 如图，在梯形中，，平分交于，且，．如果的面积为2，求四边形的面积．