渐变累加型 - 初中数学 - 适中

1 . 下列图形是由同样大小的棋子按一定规律组成的，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑧个图形中棋子的颗数为（       ）

A．141

B．106

C．169

D．150

2 . 如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推．
（1）填写下表：

层数	1	2	3	4	5	6
该层对应的点数
所有层的总点数

（2）写出第n层所对应的点数．
（3）如果某一层共96个点，你知道它是第几层吗？
（4）有没有一层，它的点数为100点？
（5）写出n层的六边形点阵的总点数．

3 . 德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，做法如下：取一条长度为1的线段三等分后，去掉中间段，余下两条线段，达到第1阶段；将剩下的两条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下四条线段，达到第2阶段；再将剩下四条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下八条线段，达到第3阶段；．．，一直如此操作 下去大在不断分割舍 弃过程中，所形成的线段数目越来越多．

如图是最初几个阶段，
（1）当达到第5个阶段时，余下的线段条数为____________．
（2）当达到第n个阶段时(n为正整数)，去掉的线段的长度之和为___ (用含n的式子表示)

4 . 如图，已知正方形的对角线，相交于点，顶点，，的坐标分别为，，，规定“把正方形先沿轴翻折，再向右平移个单位”为一次变换，如此这样，连续经过次变换后，点的坐标变为_________．

5 . 在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示．那么点A₂₀₂₀的坐标是________．

   

6 . 在平面直角坐标系中，若干个半径为1个单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为1个单位长度/秒，点在弧线上的速度为个单位长度/秒，则2021秒时，点P的坐标是（　　）

   

A．（2021，）	B．
C．	D．（2021，0）

7 . 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别在，轴上，且．将正方形绕原点顺时针旋转，且，得到正方形，再将正方绕原点顺时针旋转，且，得到正方形，以此规律，得到正方形，则点的坐标为__________．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，，根据规律探索可得，第31个点的坐标为（　　）

A．

B．

C．

D．

9 . 如图，已知A₁（0，1），A₂（，），A₃（，），A₄（0，2），A₅（，），A₆（，），A₇（0，3），A₈（，），A₉（，），…，则点A₂₀₁₀的坐标是______．

10 . 下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，……，则图7中有（       ）个棋子．

A．48

B．49

C．50

D．60

1 . 按一定规律排列的等式：……，按此规律（　　）

A．

B．

C．

D．

2 . 观察下面每个图形中圆圈的总个数，也可以用相对应算式表达．

①；
②；
③；
④；
．．．．．．
(1)根据你发现的规律填空：（___________）=___________²；
(2)根据上面规律，计算： ___________；（直接填结果）
(3)根据上面规律，计算：．（要写必要的计算过程）

3 . 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA₁A₂的直角边OA₁在y轴的正半轴上，且OA₁＝A₁A₂＝1，以OA₂为直角边作第二个等腰直角三角形OA₂A₃，以OA₃为直角边作第三个等限直角三角OA₃A₄，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA₂₀₂₀A₂₀₂₁，则点A₂₀₂₁的坐标为 _____________．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，…照此规律，点第2022次跳动至点的坐标是________．

5 . 如图，已知A₁（1，0），A₂（1，1），A₃（﹣1，1），A₄（﹣1，﹣1），A₅（2，﹣1）…，则点A₂₀₂₁的坐标为________．

6 . 有一组多项式：，，，，．．．，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第个多项式为________．

7 . 如图几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律．

(1)第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个；第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个．
(2)求出第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数．
(3)求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和．

8 . 在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A₁，如图所示依次作正方形A₁B₁C₁O、正方形A₂B₂C₂C₁、…、正方形A_nB_nC_nC_n﹣1，使得点A₁、A₂、A₃、…在直线l上，点C₁、C₂、C₃、…在y轴正半轴上，则点B_n的坐标是_____．

9 . 将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，请根据图2化简， ________．

10 . 如图，在平面直角坐标系中，设一质点M自P₀（1，0）处向上运动1个单位至P₁（1，1），然后向左运动2个单位至P₂处，再向下运动3个单位至P₃处，再向右运动4个单位至P₄处，再向上运动5个单位至P₅处，…，如此继续运动下去，则P₂₀₂₁的坐标为（       ）

A．（1011，1011）

B．（1010，﹣1011）

C．（504，﹣505）

D．（505，﹣504）

1 . 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为……根据这个规律，第个点的坐标为（   ）

A．

B．

C．

D．

2 . 按一定规律排列的一列数依次为2，-5，10，-17，26，-37，…，按此规律排列下去，这列数中的第20个数是__________．

3 . 把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，解答下列问题：
（1）第5个图案中黑色三角形的个数有　　个．
（2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理．

4 . 下列图形都是由同样大小的正方形按一定规律组成的，其中，第1个图中一共有1个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有14个正方形，…，按照此规律第5个图中正方形的个数为（       ）

A．30

B．46

C．55

D．60

5 . 如图，有一个起点为的数轴，现有同学将它弯折，虚线上从下往上第一个数为，第二个数为，第三个数为，，则第十个数是（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 如图所示，直线与y轴相交于点D，点A₁在直线上，点B₁在x轴，且∆OA₁B₁是等边三角形，记作第一个等边三角形；然后过B₁作B₁A₂∥OA₁与直线相交于点A₂，点B₂在x轴上，再以B₁A₂为边作等边三角形A₂B₂B₁，记作第二个等边三角形；同样过B₂作B₂A₃∥OA₁与直线相交于点A₃，点B₃在x轴上，再以B₂A₃为边作等边三角形A₃B₃B₂，记作第三个等边三角形；⋯依此类推，则第n个等边三角形的顶点A纵坐标为（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 将一组数，，3，，，，，按下面的方式进行排列：
，，3，，，；
，，，，，6；

若的位置记为，的位置记为，则这组数据中最大的有理数的位置记为（     ）

A．

B．

C．

D．

8 . 定义：若抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点与它的顶点所构成的三角形是直角三角形，则把这种抛物线称作“和美抛物线”．如图，一组抛物线的顶点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃），… B_n（n，y_n ）（n为正整数）依次是直线上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），A₃（a₃，0），…A_n+1（a_n+1，0）（0＜a₁＜1，n为正整数）．若这组抛物线中存在和美抛物线，则a₁＝___．

9 . 正整数按如下图的规律排列，请写出第6行，第7列的数字是___________；第n行，第n列的数字是___________．(用含n的代数式表示)

10 . 观察下列等式，探究其中的规律并解答问题：

1＝12 2+3+4＝32 3+4+5+6+7＝52 4+5+6+7+8+9+10＝k2

（1）第4个等式中，k＝　 　；
（2）写出第5个等式：　 　；
（3）写出第n个等式：　 　（其中n为正整数）

1 . 观查下列等式，探究其中的规律并回答问题：
，
，
，
，
…
（1）第4个等式中正整数k的值是________；
（2）根据已知等式可归纳出第n个等式为__________________（n是正整数）．

2 . 如下图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…………按这样的规律下去，第6幅图中有_______个正方形．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，将绕A顺时针旋转得到，此时﹔将绕点顺时针旋转得到，此时将绕点继续顺时针旋转，此时…按此规律继续旋转，直至得到点为止，则_________．

4 . 如图：的面积为，分别延长的三条边、、到点、、，使得，，，得到；再分别延长的三条边、、到点、、，使得，，，得到；……，按照此规律作图得到，则的面积______．

5 . 如图，在平面直角坐标系x轴上有点，点第一次跳动至点第二次点跳动至点第三次点跳动至点，第四次点跳动至点，……依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是________

6 . 观察下列等式
1=1，
2+3+4=9，
3+4+5+6+7=25，
4+5+6+7+8+9+10=49
…
照此规律，第2011个等式是2011+2012+...+6031=2011+2012+...+6031=M²，则正数M=______．

7 . 观察一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7…，将这列数排成下列形式：

（1）在上表中，第12行第6个数是 ；
（2）在上表中，“2021”是其中的第      行，第      个数；
（3）将上表中第i行的最后一个数记为a_i，如第1行的最后一个数记为a₁，即a₁=1，第2行的最后一个数记为a₂，即a₂=3，如此下去，a₃=-6，a₄=-10，......，第n行的最后一个数记为x_n，则用含n的式子表示|a_n|为        ；
（4）在（3）的条件下，计算．

8 . 如图，已知∠MON＝30°，点…在射线ON上，点在射线OM上，△，△，△…均为等边三角形．若＝1，则△的边长为_______．

9 . 如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A₁（－1，1），紧接着第二次向右跳动3个单位至点A₂（2，1），第三次跳动至点A₃（－2，2），第四次向右跳动5个单位至点A₄（3，2），依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A₁₀₀的坐标是________________．

10 . 如图，在平面直角坐标系中，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，…．照此规律，点第2021次跳动至点的坐标是（       ）

A．

B．

C．

D．

1 . 阅读下文，寻找规律：
已知：x≠1，观察下列各式：
（x﹣1）（x＋1）＝x²﹣1；
（x﹣1）（x²＋x＋1）＝x³﹣1；
（x﹣1）（x³＋x²＋x＋1）＝x⁴﹣1；…
（1）分解因式：x⁵﹣1＝　 　；
（2）根据规律可得（x﹣1）（x^n﹣1＋⋯＋x＋1）＝　 　；（其中n为正整数）
（3）计算2×（3⁹⁹＋3⁹⁸＋3⁹⁷⋯＋3²＋3＋1）＝　 　．

2 . 阅读下列材料
∵


……

∴
=
=
=
解答下列问题:
（1）在和式中，第6项为____,第n项是__________.
（2）求的值

3 . 将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=______________．

4 . 现有两种给你钱的方法：第一种方法是每天给你1元，一直给你10年；第二种方法是第一天给你1分钱，第2天给你2分钱，第3天给你4分钱，第4天给你8分钱，第5天给你16分钱，以此类推，给你20天．哪一种方法得到的钱数多？请说明理由．（1年按365天计算）

5 . 在直角坐标系中，正方形、、…、按如图所示的方式放置，其中点…、均在一次函数的图象上，点…、均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_________

   

6 . 正方形、、、… ，按如图所示的方式放置．点、、、…和点、、、…分别在直线和轴上，则第2015个正方形的边长为_____________．