递推型 - 初中数学 - 困难

1 . 已知两个整式，，将整式与整式求和后得到整式．称为第一次操作；将第一次操作得到的整式加上得到整式，称为第二次操作；将第二次操作得到的整式加上得到整式，称为第三次操作；将第三次操作得到的整式加上得到整式，称为第四次操作；将第四次操作得到的整式加上得到整式，称为第五次操作，…，以此类推，下列说法中正确的个数有（     ）
①整式的一次项系数为；
②当满足，时，则；
③若，，为的边长，其中，满足．且是方程的解，则为等边三角形；
④多项式的最小值为．

A．1

B．2

C．3

D．4

2 . 观察下面三行有规律的数：
-2，4，-8，16，- 32，64，……①
-4，2，-10，14，- 34，62，……②
4，-8，16，- 32，64，-128，……③
（1）第一行数的第10个数是__________ ；
（2）请联系第一行数的规律，直接写出第二行数的第10个数是____________；直接写出第三行数的第n个数是_____________；
（3）取每行的第100个数，计算这三个数和．

3 . 观察下列等式：
，，．
将以上三个等式的两边分别相加，得：
．
（1）直接写出计算结果：＝________．
（2）计算：．
（3）猜想并直接写出：＝________．（n为正整数）

4 . 如图，在中，，的平分线与的外角（）的平分线交于点；的平分线与的外角的平分线交于点，…，以此类推，则______（用含的式子表示）

5 . 如图，点在反比例函数的图象上，点在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，则的坐标是______．

6 . 在直角坐标系中，等腰直角三角形、、、…、按如图所示的方式放置，其中点、、、…、均在一次函数的图象上，点、、、…、均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________．

7 . 如图，已知，、的交点为，现作如下操作：
第一次操作，分别作和的平分线，交点为，
第二次操作，分别作和的平分线，交点为，
第三次操作，分别作和的平分线，交点为，
…
第次操作，分别作和的平分线，交点为．
若度，那等于__________度．

9 . 有下列等式：
；
；
；
；
…
(1)根据你发现的规律，写出第个等式：__________=__________；
(2)根据你发现的规律，猜想分解因式的结果，并证明．

10 . 如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边（       ）上．

A．

B．

C．

D．

1 . △ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则为（　　）

A．

B．

C．

D．

2 . 在直角坐标系中，直线与x轴交于点，以为边长作等边，过点作平行于x轴，交直线于点,以为边长作等边,过点作平行于x轴，交直线于点，以为边长作等边，则等边的边长是_____．

3 . 如图，∠MON＝30°，点A₁在射线OM上，过点A₁作A₁B₁⊥OM交射线ON于点B₁，将△A₁OB₁沿A₁B₁折叠得到△A₁A₂B₁，点A₂落在射线OM上；过点A₂作A₂B₂⊥OM交射线ON于点B₂，将△A₂OB₂沿A₂B₂折叠得到△A₂A₃B₂，点A₂落在射线OM上；…按此作法进行下去，在∠MON内部作射线OH，分别与A₁B₁，A₂B₂，A₃B₃，…，A_nB_n交于点P₁，P₂，P₃，…P_n，又分别与A₂B₁，A₃B₂，A₄B₃，…，A_n＋1B_n，交于点Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n．若点P₁为线段A₁B₁的中点，OA₁＝，则四边形A_nP_nQ_nA_n＋1的面积为___________________（用含有n的式子表示）．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律，则点的坐标是 __．

5 . 如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推，按照图中反映的规律，第个正方形的边长是_______．

6 . 设，，，…，．设，则S= _____________ （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线l：yx与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA₁，过点A₁作A₁B₁x轴，交直线l于点B₁，以A₁B₁为边作等边△A₁B₁A₂，过点A₂作A₂B₂x轴，交直线l于点B₂，以A₂B₂为边作等边△A₂B₂A₃，以此类推……，则点A₂₀₂₀的纵坐标是__．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与x轴的夹角为30°，点在x轴上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交x轴、干点、，以为边在的右侧作等边三角形，过点作的垂线分别交x轴、于点、，以，为边在的右侧作等边三角形，…，按此规律进行下去，则点的纵坐标为______，点的纵坐标为______．
   

9 . 如图， 直线与轴交于点，与双曲线 在第三象限交于两点，且 ；下列等边三角形，，，……的边，，，……在轴上，顶点……在该双曲线第一象限的分支上，则= ____，前25个等边三角形的周长之和为 _______．

10 . 如图，在平面直角坐标系中，有若十个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，已知是第一个点，则第74个点的坐标为________．

1 . 如图将边长为1的正方形OAPB沿着x轴正方向连续翻转2022次，P点依次落在点、、、……、的位置，那么点的坐标为 _____．

2 . 一个正整数表如下：（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）

第1行	1
第2行	3，5
第3行	7，9，11，13
…	…

则第4行中的最后一个数是________，第n行中共有________个数，第n行的第n个数是________．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，OA₁为半径的圆弧，是以点C为圆心，CA₂为半径的圆弧，是以点A为圆心，AA₃为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA₁A₂A₃A₄A₅…称为正方形的“渐开线”，那么点A₂₀₂₁的坐标是______．

4 . 将正方形ABCD（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；
（1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有　 　个正方形；
（2）继续划分下去，第n次划分后图中共有　 　个正方形；
（3）能否将正方形ABCD划分成有2018个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．
（4）如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果．计算（直接写出答案即可）
   

5 . 如图，是等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形…，按此规律作下去，则的长为________．

6 . 如图，已知，，，⋯，是轴上的点，且，分别过点，，，⋯，，作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，⋯，，过点作于点，过点作于点，⋯，记的面积为，的面积为，⋯，的面积为，则等于_______．

7 . 如图，在正方形中AB=1．AB与直线的夹角为30°，延长交直线于点作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形 ……依此规律，则__________ （用指数表示即可）

8 . 如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，ABC看作第一个黄金三角形；作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，BCD看作第二个黄金三角形；作∠BCD的平分线CE，交BD于点E，CDE看作第三个黄金三角形；……以此类推，第2020个黄金三角形的腰长是（       ）

A．（）2018	B．（）2019
C．（）2018	D．（）2019

9 . 如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点OA₁＝OB₁，连接A₁B₁，在B₁A₁、B₁B上分别取点A₂、B₂，使B₁B₂＝B₁A₂，连接A₂B₂…按此规律上去，记∠A₂B₁B₂＝θ₁，∠A₃B₂B₃＝θ₂，…，∠A_n＋1BnB_n＋1＝θn，则θn＝________．

10 . 问题提出：
将正m边形（）不断向外扩展，每扩展一个，正m边形每条边上的点的个数（以下简称“点数”）就增加一个，则n个正m边形的点数总共有多少个？
问题探究：
为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：
探究一：n个正三角形的点数总共有多少个？
如图1-1，1个正三角形的点数总共有个；
如图1-2，2个正三角形的点数总共有个；
如图1-3，3个正三角形的点数总共有个；
……
n个正三角形的点数总共有个．

探究二：n个正四边形的点数总共有多少个？
如图2-1，连接AC，得到两个三角形△ABC和△ADC，这两个三角形相同之处在于，BC边与CD边都有相同个数的点，即2个点．每个三角形都有3个点，两个三角形就是个点，因为这两个三角形在AC上有2个点重合，所以1个正四边形的点数总共有（个）；

如图2-2，连接AC，得到两个三角形△ABC和△ADC，这两个三角形相同之处在于，BC边与CD边都有相同个数的点，即3个点，每个三角形都有6个点，两个三角形就是个点，因为这两个三角形在AC上有3个点重合，所以2个正四边形的点数总共有（个）；

如图2-3，连接AC，得到两个三角形△ABC和△ADC，这两个三角形相同之处在于，BC边与CD边都有相同个数的点，即4个点．每个三角形都有10个点，两个三角形就是个点，因为这两个三角形在AC上有4个点重合，所以3个正四边形的点数总共有（个）；
……
n个正四边形的点数总共有，即个．

探究三：n个正五边形的点数总共有多少个？
类比探究二的方法：
1个正五边形的点数总共有5个；
2个正五边形的点数总共有12个；
3个正五边形的点数总共有________个；
……
n个正五边形的点数总共有________个．

探究四：n个正六边形的点数总共有_______个．
问题解决：
n个正m边形的点数总共有________个．
实际应用：
若9个正m边形的点数总共有820个，则m的值为________．

1 . 观察下面的等式：
；
；
；
；
．
回答下列问题：
（1）填空：           ；
（2）已知，则的值是           ；
（3）设满足上面特征的等式最左边的数为，求的最大值，并写出此时的等式．

2 . 如图，等边三角形ABC的边长为4，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作于点，过点作，交OC于点；过点作于点，过点作，交OC于点，则点的坐标是___，按此规律进行下去，点的坐标是______

3 . 如图，已知A₁(1，0)，A₂(1，−1)，A₃(−1，−1)，A₄(−1，1)，A₅(2，1)，…，则点A₁₈的坐标是______．

4 . 已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB₁为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB₁C₁，再以等边三角形AB₁C₁的B₁C₁边上的高AB₂为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB₂C₂，再以等边三角形AB₂C₂的边B₂C₂边上的高AB₃为边作等边三角形，得到第三个等边AB₃C₃；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形AB_nC_n的面积为___．

5 . 如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA₁=OB₁，连接A₁B₁，在B₁A₁、B₁B上分别取点A₂、B₂，使B₁B₂=B₁A₂，连接A₂B₂…按此规律下去，记∠A₂B₁B₂=θ₁，∠A₃B₂B₃=θ₂，…，∠A_n+1B_nB_n+1=θ_n，
则（1）θ₁=_______, （2）θ_n=_________.

6 . 如图，中，边上的高，点分别在边、、上，且四边形为正方形，则__________，点分别在边上，且四边形为正方形，按此规律操作下去，则线段的长度为__________．

7 . 如图，已知在Rt△ABC中，，在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD，PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2022个内接正方形的边长为______．

8 . 观察下列等式：                      
第1层 1+2＝3
第2层 4+5+6＝7+8
第3层 9+10+11+12＝13+14+15
第4层 16+17+18+19+20＝21+22+23+24
……   
在上述数字宝塔中，从上往下数，2017在第_________层．

9 . 如图，已知∠MON=30°，点、、…在射线ON上，点、、…在射线OM上，△、△、△…均为等边三角形，若O=1，则△的边长为_____．