递推型 - 初中数学 - 适中

1 . 观察下面由正整数组成的数阵：

照此规律，按从上到下、从左到右的顺序，第51行的第1个数是（　　　）

A．2500

B．2501

C．2601

D．2602

2 . 观察给定的分式，探索规律：
（1），，，，…其中第6个分式是__________；
（2），，，，…其中第6个分式是__________；
（3），，，，…其中第n个分式是__________（n为正整数）．

3 . 观察式子：1³=1²，1³+2³=(1+2)²=3²，1³+2³+3³=(1+2+3)²=6²，1³+2³+3³+4³=(1+2+3+4)²=10²，…，根据你发现的规律，计算5³+6³+7³+8³+9³+10³的结果是(　　)

A．2925

B．2025

C．3225

D．2625

4 . 在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　）

A．

B．

C．

D．

5 . 观察下面一列数，探求其规律：
，，，，，，…
（1）请问第7个，第8个，第9个数分别是什么数？
（2）第2015个数是什么？如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越接近？

6 . 已知有一个有序数组，按下列方式重新写成数组，使得，，，，接着按同样的方式重新写成数组，使得，，，，按照这个规律继续写下去，若有一个数组满足，则n的值为（       ）

A．9

B．10

C．11

D．12

7 . 将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是，那么第101行第100列是（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 阅读下列解题过程：
；
；
；
……
(1)计算：________；
(2)按照你所发现的规律，猜想：_______；（n为正整数）
(3)计算：．

9 . 【实际问题】
某商场在双十一期间为了鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
【问题建模】
从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？
【模型探究】
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？

所取的2个整数	1，2	1，3	2，3
2个整数之和	3	4	5

如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有         种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有           种不同的结果．
（3）归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有            种不同的结果．
【问题解决】
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有         种不同的优惠金额．
【问题拓展】
从3，4，5，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和共有121种不同的结果，求n的值．（写出解答过程）

10 . 已知整数浦足下列条件：，，以此类推，则值为______．

1 . 如图，已知，，，，…以此类推，若，则的度数为（     ）

A．

B．

C．

D．

2 . 如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形：将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，第2025个图中共有正方形的个数为______．

3 . 化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为时，依次用天干甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则辛烷分子结构式中“H”的个数是______．

4 . （1）【观察猜想】
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：①___________；
……
第个等式：②___________；
（2）【应用迁移】
计算：

5 . 观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
根据以上规律解答以下问题：
(1)写出第5个等式：______；写出第n个等式：______﹔
(2)由分式性质可知：，试求的值．

6 . 如图，直线l为y＝x，过点A₁（1，0）作A₁B₁⊥x轴，与直线l交于点B₁，以原点O为圆心，OB₁长为半径画圆弧交x轴于点A₂；再作A₂B₂⊥x轴，交直线l于点B₂，以原点O为圆心，OB₂长为半径画圆弧交x轴于点A₃；……，按此作法进行下去，则点An的坐标为______．

7 . 已知下列一组按规律排列的式子：，，，，，…，则第个式子（为正整数，且）为（     ）

A．

B．

C．

D．

8 . 如图，用大小相同的小正方形拼成大正方形，拼第1个正方形需4个小正方形，拼第2个正方形需9个小正方形……试一试，拼一拼，照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多________个小正方形．

9 . 任意大于1的正整数的三次幂均可“分裂”成个连续奇数的和，如：，按此规律，若分裂后，其中有一个奇数是2023，则的值是（          ）

A．46

B．45

C．44

D．43

10 . 如图，在平面直角坐标系上有个点，点第次向上跳动个单位至点，紧接着第次向左跳动个单位至点，第次向上跳动个单位，第次向右跳动个单位，第次又向上跳动个单位，第次向左跳动个单位，，依此规律跳动下去，点第次跳动至点的坐标是______．

1 . 观察下列各式



(1)根据以上规律，则___________；
(2)你能否由此归纳出一般规律___________；
(3)根据以上规律求…+的结果．

2 . 按一定规律排列的一列数依次为，，，，，…，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是___________________．

3 . 观察下列各式：
1³=1²
1³+2³=3²      
1³+2³+3³=6²           
1³+2³+3³+4³=10² …
猜想1³+2³+3³+…+10³=_________________．

4 . 一颗跳跳糖从开始按图中箭头所示方向作连续运动，第一次跳动至，第二次跳动至，第三次跳动至，第四次跳动至，第五次跳动至，…，依照此规律跳动下去，跳跳糖第77次跳动至的坐标是 （　　）

A．

B．

C．

D．

5 . 下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（　　）

A．50

B．64

C．68

D．72

6 . 如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使.按照此规律，线段的长为________．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按一定的规律移动，依次得到点，，，，，，，，……，根据这个规律，则点的坐标是（       ）

   

A．

B．

C．

D．

8 . 如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的周长为1，则第n个矩形的周长为______．

   

9 . 如图，将整数按规律排列，若有序数对(a，b)表示第a排从左往右第b个数，则(9，4)表示的数是（　　）

A．49

B．﹣40

C．﹣32

D．25

10 . 观察算式，找规律：
；
；
；
；
……
(1)由以上算式可知：__________ ；
(2)计算：．

1 . 下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，第③个图形一共有18颗棋子，…，则第⑦个图形中棋子的颗数为（       ）

A．84

B．108

C．135

D．152

2 . 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形A₁B₁C₁D₁（记为第1个正方形）的顶点A₁与原点重合，点B₁在y轴上，点D₁在x轴上，点C₁在第一象限内，以C₁为顶点作等边△C₁A₂B₂，使得点A₂落在x轴上，A₂B₂⊥x轴，再以A₂B₂为边向右侧作正方形A₂B₂C₂D₂（记为第2个正方形），点D₂在x轴上，以C₂为顶点作等边△C₂A₃B₃，使得点A₃落在x轴上，A₃B₃⊥x轴，若按照上述的规律继续作正方形，则第2021个正方形的边长为 _____．

3 . 如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A₁，得∠A₁，∠A₁BC与∠A₁CD的平分线相交于点A₂，得∠A₂，⋯，∠A₃BC与∠A₃CD的平分线相交于点A₄，得∠A₄，则∠A₄的度数为（　　）

A．5°

B．10°

C．15°

D．20°

4 . 某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：
当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？
一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐，但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌为什么？

5 . 观察算式：
；；；，…
（1）请根据你发现的规律填空：（        ）²；
（2）用含n的等式表示上面的规律：                ；（n为正整数）
（3）利用找到的规律解决下面的问题：
计算：．

6 . 如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0），第二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（　　）

A．（44，5）

B．（44，2）

C．（45，5）

D．（45，2）

7 . 人们发现自然界中有一系列与甲烷的结构、化学性质相似的有机化合物．如图，甲烷的化学式是，乙烷的化学式是，丙烷的化学式是按照此规律，设碳原子C的数目为n（n为正整数），则该有机化合物的化学式为（　　）

A．

B．

C．

D．

8 . 罗同学学习了全等三角形后，利用全等三角形绘制出了下面系列图案，第（1）个图案由2个全等三角形组成，第（2）个图案由4个全等三角形组成，第（3）个图案由7个全等三角形组成，第（4）个图案由12个全等三角形组成，则第（6）个图案中全等三角形的个数为（       ）

A．25

B．38

C．70

D．135

9 . 如图，直线l的解析式为，点，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点，按此规律，线段的长为（     ）

A．

B．

C．

D．

10 . 如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如下顺序依次排列为根据这个规律，第2023个点的坐标为（       ）

   

A．

B．

C．

D．

1 . 将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S₁，第2次对折后得到的图形面积为S₂，…，第n次对折后得到的图形面积为S_n，请根据图2化简， ______．

2 . 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n (n是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是_________．

3 . 线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为_______

4 . 如图，在△中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则_____．

5 . 如图，以点为端点引条射线时，共有__________个角；以点为端点引条射线时，共有__________个角以点为端点引条射线时，共有__________个角用含的代数式表示．

   

6 . 观察以下等式：
，，，，
(1)依此规律进行下去，第5个等式为______，猜想第n个等式为______；
(2)请利用分式的运算证明你的猜想．

7 . 一些相同的“◯”按如图所示的规律依次摆放，则第50个图中有多少个“◯”（       ）

   

A．2657

B．2555

C．2455

D．1875

8 . 观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明．

9 . 观察下列等式：
①；
②；
③；
④；
……
根据上述规律回答下列问题：
(1)第⑤个等式是　 ；
(2)第个等式是　 （用含的式子表示，为正整数）．

10 . 有依次排列的两个整式：，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减左边的整式，将所得之差写在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串：，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作，
①第二次操作后的整式串为：；
②第二次操作后，当或时，所有整式的积为正数；
③第四次操作后的整式串共有19个整式；
④第2022次操作后，所有整式之和为；上述结论中，正确的是（　　）

A．①②

B．①③

C．①④

D．②④

1 . 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有________个小圆.（用含 n 的代数式表示）

2 . 阅读理解：
材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，，…，
发现规律：（为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律，快速计算：．
根据材料，回答问题：
在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题．请将下面的探究过程，补充完整．
（1）具体运算：
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：        （填写一个符合上述运算特征的例子）．
……
（2）发现规律：        （为正整数），并证明此规律成立．
（3）应用规律：
①计算：；
②如果，那么n＝         ．

3 . 如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子放的位置为第1列第1排，第二颗子放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规则摆放在第15列第8排的是第（　　）颗棋子．

A．69

B．70

C．71

D．72

4 . 观察下列式子：
①；②；③；④；…．
请你按照规律写出第n（）个式子是(     )

A．

B．

C．

D．

5 . 观察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52×       =        ×25；
②　　×396=693×　　．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．

6 . 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA₁B₁是边长为2的等边三角形，作△B₂A₂B₁与△OA₁B₁关于点B₁成中心对称，再作△B₂A₃B₃与△B₂A₂B₁关于点B₂成中心对称，如此作下去，则△B_2nA_2n＋1B_2n＋1（n是正整数）的顶点A_2n＋1的坐标是____．

7 . 点A从数轴上表示的点开始移动，第一次先向左移动个单位，再向右移动个单位，第二次先向左移动3个单位长度，再向右移动个单位；第三次先向左移动个单位，再向右移动6个单位…
(1)写出第一次移动后这个点在数轴上表示的数为 ___________；
(2)写出第四次移动后这个点在数轴上表示的数为 ___________；
(3)如果第次移动后这个点在数轴上表示的数为，求的值．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，一动点沿箭头所示的方向，每次移动一个单位长度，依次得到点P₁（0，1），P₂（1，1），P₃（1，0），P₄（1，﹣1），P₅（2，﹣1）…则P₂₀₁₈的坐标是_____．

9 . 观察下列式子：；；；；…；请用字母表示其中的规律______．

10 . 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中方向排列，即，则按此规律排列下去第20个点的坐标为（       ）

A．

B．

C．

D．

1 . 以下是一幅幅平面镶嵌图案，它们由相同的灰色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，如图，当正方形只有个时，等边三角形有个；如图，当正方形有个时，等边三角形有个；以此类推……

   

(1)第个图案中正方形有______个，等边三角形有______个．
(2)第个图案中正方形有______个，等边三角形有______个．
(3)若此类图案中有个等边三角形，该图案中正方形有多少个？

2 . 如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第2次从点向右移动6个单位长度到达点，第3次从点向左移动9个单位长度到达点，…，按照这种移动规律进行下去，第n次移动到达点，如果点与原点的距离不小于17，那么n的最小值是___________．

3 . 观察算式：



(1)按规律填空：
①          
②               
③如果n为正整数，那么            
(2)计算（由此拓展写出具体过程）
①
②

4 . 十一期间，泉城广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5个盆栽，第四层有7个盆栽，……，以此类推．请观察图形规律，解答下列问题：

(1)第10层有        个盆栽，第a层有       个盆栽，前n层共有     个盆栽；
(2)计算：        ；
(3)拓展应用：求的值．

5 . 规律探究：
15×15＝1×2×100+25＝225；
25×25＝2×3×100+25＝625；
35×35＝3×4×100+25＝1225；
(1)第4行为     ；
(2)用含n的式子表示规律并证明．

6 . 莫高窟坐落于河西走廊西部的尽头——敦煌，是我国古代文明的一个璀璨艺术宝库．如图为莫高窟壁画纹样，小明发现，壁画纹样中还蕴藏着数学知识，其中第①个图案中有5个花朵图案；第②个图案中有8个花朵图案；第③个图案中有11个花朵图案……按此规律排列下去，第⑩个图案中花朵图案的个数为（）

A．33

B．32

C．31

D．30

7 . 若关于x的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为则的值为_________．

8 . 利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．请你尝试利用数形结合的思想方法解决下列问题

(1)如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，根据图示我们可以知道：＝　 　．（用含有n的式子表示）
(2)如图②，一个边长为1的正方形，第一次取正方形面积的，然后依次取剩余部分的，根据图示：计算：＝　 　．（用含有n的式子表示）
(3)如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：计算：＝　 　．（用含有n的式子表示）

9 . 观察下面三行数：
第①行：2、4、6、8、10、12、…
第②行：3、5、7、9、11、13、…
第③行：1、4、9、16、25、36、…
设x、y、z分别为第①、②、③行的第100个数，则的值为（　　）

A．9999

B．10001

C．20199

D．20001

10 . 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成．第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图形有10个正三角形，…依此规律，若第n个图案有2023个三角形，则（       ）

A．670

B．672

C．673

D．674

1 . 如图，每个小正方形的面积均为1．将左图中黑色的小正方形移动，得到右边拼成的长方形，根据两种图形方法计算小正方形的个数；如图得出以下等式：

(1)请写出第3个等式：__________；
(2)猜想第n个等式为：__________（用含n的等式表示）；
(3)当n为多少时，左图中的最底端有2024个小正方形？此时左图中共有多少个小正方形？

2 . 一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动[即]，且每秒移动一个单位，那么第2023秒时质点所在位置的坐标是_____．

3 . 依照图形变化的规律，则第2021个图形中黑色正方形的个数是（　　）

A．2021

B．3030

C．3031

D．3032

4 . 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，交轴于点，点在直线上，点在轴的正半轴上，若，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则第个等腰直角三角形顶点的坐标为____________．

   

5 . 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．

根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（　　）

A．36

B．45

C．55

D．66

6 . 观察下列三行数，并完成填空：
①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…
②1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…
③0，﹣3，3，﹣9，15，﹣33，…
第①行数按一定规律排列，第2022个数是_____；若取每行数的第2022个数，计算这三个数的和为_____．

7 . 如图，一个机器人从坐标原点O点出发，向正东方向走3米到达A₁点，再向正北方向走6米到达A₂点，再向正西方向走9米到达A₃点，再向正南方向走12米到达A₄点，再向正东方向走15米到达A₅点，……．按此规律走下去，当机器人走到A₇点时，它的位置可表示为（        ）（单位长度为1米）

A．（-21，18）

B．（9，12）

C．（-12，12）

D．（-21，12）

8 . 用火柴棒按上图的方式摆出一系列图案，按这种方式摆下去，第n个图案所用的火柴棒的根数为_____．

9 . 观察下面三行数：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；
﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…；
1，7，﹣5，19，﹣29，67，…
（1）如果设①行的第n个数为x，则第②、③行的第n个数分别为 　 　，　 　（用含x的代数式表示）．
（2）取每一行的第n个数，从上到下依次记作A，B，C，对于任意的正整数n均有A﹣tB+3C为一个定值，则t＝　 　．
（3）是否存在这样的一列数，使得这样的一列三个数的和为1283？若存在，求出这一列数；若不存在，说明理由．

10 . 阅读下面材料，完成问题探究：
【问题提出】：将正方形的四条边都n等分，连接各边对应的等分点，则图中一共有多少个长方形（包括正方形）？
【问题探究】：为解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：、

(1)探究一：将一条线段n等分，图中一共可以形成多少条线段？
如图1：将线段二等分，图中线段共有条；
如图2：将线段三等分，图中线段共有条；
如图3：将线段四等分，图中线段共有条；
……将线段 n等分，图中线段共有________条．
(2)探究二：将正方形的四条边都n等分，连接各边对应的等分点，则图中一共有多少个长方形（包括正方形）？
如图4：将正方形的四条边都2等分，连接各边对应的等分点，图中一共有多少个长方形（包括正方形）？
我们发现，边上有3线段，边上也有3条线段，则图中长方形（包括正方形）个数是个；
如图5：将正方形的四条边都3等分，连接各边对应的等分点，图中一共有多少个长方形（包括正方形）？
因为边上有6条线段，边上也有6条线段，
则图中长方形（包括正方形）个数是个；
如图6：将正方形的四条边都4等分，连接各边对应的等分点，图中一共有多少个长方形（包括正方形）？
则图中长方形个数（包括正方形）是________个．
(3)【问题解决】：将正方形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，则图中一共有_________个长方形（包括正方形）．
(4)【拓展延伸】：将长宽高的长方体的各边等分成的线段，连接各边对应的等分点，则一共可以形成________个长方体（包括正方体），其中长宽高的长方体的个数是________．

1 . 如图，已知中，，，，作AC的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第一条线段；作的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第二条线段；作的垂直平分线交AB于点、交于点，连接，得到第三条线段；……，如此作下去，则第n条线段的长为______．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点，，，，…，那么点的坐标为（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点按这样的规律若n条直线相交交点最多有36个，则此时n的值为（       ）

A．10

B．9

C．8

D．7

4 . 阅读以下内容：
，
，
，
根据这一规律，计算：______．

5 . 如图，某校园“学思餐厅”把WIFI密码做成了数学题，小姚在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了“学思餐厅”的网络，那么他输入的密码是________．

6 . 按某种规律在横线上填上适当的数：，______，……第n个数_____．

7 . （1）观察下列单项式：，，，，，…，写出第个单项式．
请认真阅读下面的解题思路
请注意：①——④小题不需作答：
①这组单项式中不变的是什么？直接写下来；②这组单项式中系数的符号规律是什么？
③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？④这组单项式的次数的规律是什么？
探究：
⑤根据上面的归纳，猜想出第个单项式是                （只用一个含的式子表示，
是正整数）．
⑥第个单项式是                ；第个单项式是               ．
拓展：
（2）请先观察下面的等式：
①；② ；③ ；④ ；…．按上面的规律填空：第⑥个等式是 ；第⑨个等式是       ；第个等式         ；
（3）请你用（2）的规律计算的值．

8 . 正方形，，，按如图所示的方式放置，点，，，和点，，，分别在直线和轴上，已知点（1，1），（3，2），则的坐标是(    )

A．	B．
C．	D．

9 . 观察下面三行数，回答下面的问题：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，……；①
0，6，﹣6，18，﹣30，66，……；②
5，﹣1，11，﹣13，35，﹣61，……；③
（1）第①行的第8个数是 　 　，第n个数是 　 　；
（2）第②行的第8个数是 　 　，第n个数是 　 　；第③行的第8个数是 　 　；
（3）取每行数中的第k个数，这三个数的和能否等于﹣507？如果能，请你求出k的值，如果不能，请说明理由；
（4）若第③行连续三个数的和恰为﹣183，直接写出这三个数分别为 　 　．

10 . 按一定的规律排列的一组数：，，，，…，，，…（其中a，b为整数）．则的值为（       ）

A．212

B．222

C．232

D．182

1 . 观察下列各式：，，，，…
回答下面的问题：
（1）直接写出的值是           ；猜想：           ．
（2）根据（1）中的结论，求的值．
（3）思维拓展：求的值．

2 . 观察一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…，将这列数排成如图所示形式．记，对应的数为第i行（最上为第1行）第j列（最左为第1列）的数，如，那么，对应的数为 _____．

3 . 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形、正方形，、正方形，使得点在直线上，点在轴正半轴上，则点的坐标为（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 已知，则______．

5 . 先观察，再解题：
因为，，，…
所以
(1)______．
(2)请接着完成下面的计算：

(3)参照上述解法计算．

6 . 观察下列一组图形中的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……，按此规律第2022个图中共有点的个数是(        )

7 . 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形和4个正方形，第（2）个图案有10个三角形和8个正方形，第（3）个图案有16个三角形和12个正方形，…，依此规律，第个图案中三角形和正方形的总个数为__________个．（用含的式子表示）
   

（1）                       （2）                                （3）

8 . 如图，在反比例函数的图象上，有点，，，，…，，…，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，…，，…，则的结果为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．他发现从第三个输出项起的每一项都与这一项的前面两个输出项有关．按此规律，当输入9时，输出结果为_______，从1开始一直输入到2022后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有______个．

输入	1	2	3	4	5	6	7	8	…
输出	a								…

10 . 探索发现：；；
根据你发现的规律，回答下列问题：
(1)______，______；
(2)利用你发现的规律计算：．

1 . 观察下列三行数：
－2，4，－8，16，－32，64，…；①
－1，5，－7，17，－31，65，…；②
，1，－2，4，－8，16，…．③
(1)直接写出第②行第七个数是_________，第③行第七个数是________．
(2)取每行的第8个数，计算这三个数的和．

2 . 如图，已知，点，，，在射线ON上，点，，，在射线OM上，，，，均为等边三角形，若，则的边长为______．的边长为______．

3 . 已知代数式，该代数式的第7项为_______，用字母a、b和n表示代数式第n项_______．

4 . 在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示．

   

则第5个方框中最下面一行的数可能是______．

5 . （1）【观察思考】如图，线段上有两个点、，分别以点、、、为端点的线段共有________条．
（2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有___________条线段．
（3）【拓展应用】若有10支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？

6 . 观察下列等式
将以上三个等式两边分别相加得：
，
(1)猜想并写出：=___________．
(2)直接写出下列各式的计算结果：
①         
②          
(3)探究并计算：

7 . 如图，将一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的绳子中对折1次，这样连续对折7次，最后用刀沿对折7次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成___________段．

8 . 在古埃及纸草书中，人们把分子为1的分数叫做埃及分数，并且能把一个埃及分数写成两个不相等的埃及分数的和，即．下面利用这个规律计算正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，．根据这个规律探索可得，第2021个点的坐标为（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 观察下列各等式，并回答问题：
，，，，…．
（1）填空：_________；________（为整数）；
（2）计算：；
（3）计算：．

1 . 在中，BC=a，作BC边的三等分点，使得：：2，过点作AC的平行线交AB于点，过点作BC的平行线交AC于点，作边的三等分点，使得：：2，过点作AC的平行线交AB于点，过点作BC的平行线交于点；如此进行下去，则线段的长度为__．

2 . 观察一列有规律的单项式：x，3x²，5x³，7x⁴，9x⁵…，它的第n个单项式是______．

3 . 下列每一幅图都是由单位长度均为1的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的．

(1)根据规律，第4个图中共有___________个小正方形，其中灰色小正方形共有___________个．
(2)第个图形中，白色小正方形共有___________个．（用含的式子表示，为正整数）
(3)白色小正方形可能比灰色小正方形正好多2024个吗？如果可能，求出的值；如果不可能，请说明理由．

4 . 某种细胞开始有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2个小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，请你计算经过个小时后，细胞存活的个数为________个（结果用含的代数式表示）

5 . 某长方形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
[观察思考]当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推．

(1)[规律总结]若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加______块；
(2)若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为______．（用含n的代数式表示）．
(3)[问题解决]若一条这样的人行道一共有2022块等腰直角三角形地砖，则这条人行道正方形地砖有多少块?

6 . 观察下列单项式：2x，5x²，10x³，17x⁴，26x⁵，…，按此规律，第10个单项式是_____．

7 . 观察下列各式：①；②；③；④……
（1）请用以上规律计算的值；
（2）若求m的值．

8 . 观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第n个大三角形中白色三角形有（用含n代数式表示）________个．

9 . 观察下列各式：




根据你所总结规律计算：121+123+…+179＝_____．

10 . 观察下面三行数：
，4，，16，，……；①
，5，，17，，……；②
，8，，32，，……；③
(1)第①行的第8个数是______；
(2)第②行的第个数是______；（为正整数）
(3)取每一行的第7个数，计算这三个数的和．

1 . 如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是________．

2 . 观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：        ；
(2)写出你猜想的第n个等式：        （用含正整数n的等式表示），并加以证明；
(3)若的值为，求正整数n的值．

3 . （1）观察下列算式：3¹＝3，3²＝9，3³＝27，3⁴＝81，3⁵＝243，3⁶＝729，…通过观察，用你所发现的规律确定3²⁰²¹的个位数字是______；
（2）观察一列数：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是_______，根据此规律，如果用a_n（n为正整数）表示这列数的第n项，那么a_n＝_____．
（3）观察下面的一列单项式：2x，﹣4x²，6x³，﹣8x⁴，10x⁵，…根据你发现的规律，第7个单项式为______，第n个单项式为______．

4 . 观察下面一列单项式：，根据你发现的规律写出第100个单项式_______．

5 . 如图图形都是由同样大小的笑脸按一定的规律组成，其中第个图形一共有个笑脸，第个图形一共有个笑脸，第个图形一共有个笑脸按此规律，则第个图形中笑脸的个数为（     ）

A．

B．

C．

D．

6 . 观察一列单项式： 根据你发现的规律，第7个单项式为_____________；第n个单项式为________．

7 . 观察根据规律_____________．

8 . 观察下列各式：
第一式：；
第二式：；
第三式：；
……
(1)请你根据观察得到的规律写出这列式子的第n式：_______；
(2)求和：；
(3)已知与互为相反数，求的值．

9 . 在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还需要将其进一步化简：。以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
也可以用如下方法化简：
(1)请用两种不同的方法化简；
(2)化简：．

10 . 如图，小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形．其个数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（       ）

A．2022

B．2020

C．2018

D．2016

1 . 下表中的数字是按一定规律填写的，则的值是（       ）

1	2	3	5	8	13		34
2	3	5	8	13	21	34

A．55

B．66

C．76

D．110

2 . 如图，已知， …，以此类推，若，则______．

3 . 如图所示的几何体是由若干个棱长为1的小立方体按一定规律在地面摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律．

(1)在图①中有3个面涂色的小立方体共有 　 　个；在图②中只有3个面涂色的小立方体共有 　 　个；在图③中有3个面涂色的小立方体共有 　 　个；
(2)求出第4个几何体中只有2个面涂色的小立方体的数量；
(3)求出第102个几何体中所有面都没有涂色的小立方体的数量．

4 . 已知整数满足下列条件，……则___．

5 . 如图，用火柴棒摆“金鱼”，按照这样的规律，摆第n条“金鱼”需用火柴棒的根数为_____．

6 . 广场要做一个由若干盆花组成的形如正六边形的花坛，每条边（包括两个顶点）有 盆花，设这个花坛边上的花盆的总数为 ，请观察图中的规律，按此规律推断， 与 的关系是（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 如图，点Q在线段AP上，其中，
第一次分别取线段AP和AQ的中点，，得到线段，则线段____________；
再分别取线段和的中点，，得到线段；
第三次分别取线段和的中点，，得到线段；连续这样操作2021次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和____________．

8 . 图1是第七届国际数学教育大会（ICME.7）的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中，若的值是整数，且，则符合条件的n有（     ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

9 . 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑥个图形中小圆圈的个数为（       ）

A．31

B．46

C．64

D．85

10 . 我们把分子为1的分数叫做理想分数，如，，，…，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如＝+，＝+，＝+，…，根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数＝+(n是不小于2的整数，且a＜b)，那么b﹣a＝____(用含n的式子表示)

1 . 设（的自然数），如果是整数，n的值有（       ）

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

2 . 用棱长相同的小正方体摆成如图所示的几何体，第1层有1个正方体，第2层有3个正方体，第3层有6个正方体，按图中摆放的方法类推，第20层有_________个正方体

3 . 如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记作，矩形的面积记作，…，则的值为______．

4 . 把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，第3个数字是21，，则第6个数字是（     ）

A．114

B．120

C．124

D．131

5 . 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的黑白两种颜色的小正方形组成的，按照这样的规律，若组成的图案中有2021个黑色小正方形，则这个图案是（       ）

A．第505个

B．第506个

C．第507个

D．第508个

6 . 已知整数满足下列条件：，，，，…则的值为________．

7 . 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了(a+b)ⁿ（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）．

请根据规律，写出(x+1)²⁰²²的展开式中含x²⁰²¹项的系数是_______．

8 . 算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，零以空格表示如3257就表示成．

(1)算筹所表示的数是　 　．
(2)请用算筹表示下列各数：

(3)用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图的虚线框中尽可能多的摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：图中虚线框个数过多）

9 . 完成填空，回答问题．
在一次数学综合实践活动中，小明和小华设计了一个数学小实验．一个有刻度的量杯，里面存有a毫升水，小明每次往量杯中加水，使杯中水增加一倍，小华每次从量杯中排掉1毫升水，两人各做一次记为一个完整的操作．
（1）请完成下列表格数据．

操作次数	加水一倍后杯中水	排水量	排水后杯中水
第1次		1
第2次		1
第3次		1
第4次		1
…	…	…	…
第n次		1

（2）如果经过5次操作，量杯变成了一只空杯，请计算出量杯最初的存水量．

10 . （1）根据图示规律填表：

图形编号	的正方形个数	的正方形个数	的正方形个数	的正方形个数
①
②
③
④

（2）猜想：第n个图形共有多少个正方形？

1 . 将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：

图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第10个数为______，第55个数为______．

2 . 在直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为，每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为________．

3 . 如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…设第n(n是正整数)个图案是由y个基础图形组成，则y与n之间的关系式是(　　)

A．y＝4n

B．y＝3n

C．y＝6n

D．y＝3n＋1

4 . 如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆：

（1）根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是_________，第n个正方形内圆的个数是_________；
（2）如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影；
①用含a的代数式分别表示第1个正方形中、第3个正方形中阴影部分的面积（结果保留）；
②若，请直接写出第2021个正方形中阴形都分的面积_________（结果保留．）

5 . 如图，点 在反比例函数（ ）的图象上，点 在y轴上，且 ，直线 与双曲线交于点 ， ， ， 则 的坐标是 _____．

6 . 探索发现：；；…
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）＝　 　，＝　 　；
（2）类比上述规律计算下列式子：+…+．

7 . 观察下列等式的特点：① 1＋2＝3；② 4＋5＋6＝7＋8；③ 9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；④ 16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24，……，则第⑦个等式中的第三个数字是（       ）

A．63

B．51

C．47

D．46

8 . 观察下面的变形规律：
；；；…解答下面的问题：
若为正整数，请你猜想________；
求和：．（注：只能用上述结论做才能给分）；
用上述相似的方法求和：．

9 . 将2023个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点，，，，……和点，，，……，是正方形的顶点，连接，，，……分别交正方形的边，，，……于点，，……，四边形的面积是，四边形的面积是，…，则为（     ）

A．

B．

C．

D．

10 . 如图的数表，它有这样的规律：表中第1行为1，第n （n≥2）行两端的数均为n，其余每一个数都等于它肩上两个数的和，设第n （n≥2）行的第2个数为a_n，如a₂=2，a₃=4，则a_n+1﹣a_n=_____（n≥2），a_n=______．

1 . 已知一组数9，17，25，33，…，(8n＋1)（从左往右数，第1个数是9，第2个数是17，第3个数是25，第4个数是33，依此类推，第n个数是8n＋1）．设这组数的前n个数的和是s_n.
(1)第5个数是多少？并求189²—S₅的值；
(2)若n满足方程＝，则的值是整数吗？请说明理由.

2 . 如图，“海春书局”把WIFI密码做成了数学题．小红在海春书局看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“海春书局”的网络，那么她输入的密码是__________．

3 . 观察一组数2，，10，，26，，…，按此规律，则第n个数是______．

4 . 将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形．若用有序实数对(m，n)表示第m行，从左到右第n个数，如(4，3)表示分数那么(8，3)表示的分数是（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 观察下面的一列单项式：﹣2x、4x³、﹣8x⁵、16x⁷、…根据你发现的规律，第n个单项式为_____．

6 . 如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．

（1）2节链条长______，6节链条长______；
（2）节链条长多少？
（3）如果一辆自行车的链条由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上链条总长度是多少？

7 . 观察下列图形：第1个图形中一共有4个小圆圈，第2个图形中一共有10个小圆圈，第3个图形中一共有18个小圆圈…，按此规律排列，则第20个图形中小圆圈的个数是___________．

8 . 将正方形，，按如图所示方式放置，点，，和点，，，分别在直线和轴上，则点的坐标是______，的坐标是______．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，有一个，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将绕原点逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍（即OA₁＝2OA）．得到，同理，将绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到，…，依此规律，得到，则的长度为（　　）

A．

B．×22020

C．×22021

D．×22019

10 . 探究规律，解决问题：
(1)化简：      ，_____
(2)化简：，写出化简过程．
(3)化简：            ．

1 . 观察下面一列数的规律并填空：_________．

2 . 如图，矩形的面积为5，它的两条对角线交于点，以为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以为两邻边作平行四边形，…，依此类推，则平行四边形的面积为（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题．
(1)观察下列等式：，，，…
根据发现的规律：
①写出第5个等式是___________，第n个等式是___________；
②计算：；
(2)思考运用以上方法计算：
的值．

4 . 观察一列数：，，，，，按此规律，这一列数的第2022个数为 __．

5 . 下图是由一连串直角三角形组成的，其中，第1个三角形的面积记为，第2个三角形的面积记为，…，第n个三角形的面记为．观察图形，得到如下各式：，；，；，；…根据以上的规律，若一个三角形的面积是，则它是第___个三角形．

6 . 用棋子摆成的“T”型图，如图所示：

（1）摆成第1个“T”型图需要_________枚棋子，摆成第2个“T”型图需要________枚棋子；
（2）摆成第3个“T”型图需要_________枚棋子，摆成第10个“T”型图需要________枚棋子；
（3）摆成第n个“T”型图需要_________枚棋子，摆成第2021个“T”型图需要_______枚棋子．

7 . 已知抛物线y_n＝－（x－a_n）²＋a_n（n为正整数，且0＜a₁＜a₂＜…＜a_n）与x轴的交点为A_n－1（,0）和A_n（b_n，0）．当n＝1时，第1条抛物线y₁＝－（x－a₁）²＋a₁与x轴的交点为A₀（0，0）和A₁（b₁，0），其他依此类推．

（1）求a₁、b₁的值及抛物线y₂的解析式；
（2）抛物线y₃的顶点坐标为；依此类推第n条抛物线y_n的顶点坐标为用含n的式子表示；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式；
（3）探究下列结论：
①若用A_n－1A_n表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，则A₀A₁等于多少？A_n－1A_n等于多少？
②是否存在经过点A₁（b₁，0），的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．

8 . 如图，下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依此规律，图中黑色正方形的个数是（     ）

A．

B．

C．

D．

9 . 按规律填空：，请写出第6个数：___________，第13个数：___________，第2022个数：___________．

10 . 如图，在平面直角坐标系内，∠OA₀A₁＝90°，∠A₁OA₀＝60°，以OA₁为直角边向外作Rt△OA₁A₂，使∠A₂A₁O＝90°，∠A₂OA₁＝60°，按此方法进行下去，得到 Rt△OA₂A₃，Rt△OA₃A₄…，若点A₀的坐标是（1，0），则点A₂₀₂₁的横坐标是___________．

1 . 阅读理解题
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
观察以上等式，请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式 　　；
(2)计算：+…+．

2 . 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，把边长分别为x₁，x₂，x₃，…，x_n的n个正方形依次放入△ABC中：第一个正方形CM₁P₁N₁的顶点分别放在Rt△ABC的各边上；第二个正方形M₁M₂P₂N₂的顶点分别放在Rt△AP₁M₁的各边上，…，其他正方形依次放入．则第六个正方形的边长x₆为_____．

3 . 观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为________．

								……

4 . 已知，
(1)观察上式得出规律，则              ，                  ．
(2)若的值．
(3)由（2）中、的值，求的值．

5 . 新冠疫情期间，某口罩经销商卖口罩，凡是买口罩的顾客经销商都送一个口罩给他，第一个顾客买走全部口罩的一半，经销商送了一个口罩给他；第二个顾客买走剩下口罩的一半，经销售也送了一个口罩；第三个顾客再买走剩下的一半，经销商也送了一个口罩……直到第8个顾客再买走剩下口罩的一半，经销商还是送了一个口罩，这时经销商刚好剩下一个口罩，则经销商一共卖了________个口罩．

6 . 图①是棱长为a的小立方体，图②和图③由这样的小立方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n层，第n个图一共有n层，第n层的小立方体的个数记为S．

(1)按照要求填表；

n	1	2	3	4	5	……	n
S	1	3	6			……

(2)写出当n＝10时，S的值；
(3)说出第10个图的三视图特点．

7 . 如图，在平面直角坐标系上有个点A（-1，0），点A第1次向上跳动一个单位至点A₁（-1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A₂（1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点A第2017次跳动至点A₂₀₁₇的坐标是（　　）

A．（-504，1008）

B．（-505，1009）

C．（504，1009）

D．（-503，1008）

8 . 某同学设计了一个简单计算程序，其部分输入和输出的数据如表：

输入	……	2	3	4	5	6	……
输出	……	﹣		﹣		﹣	……

那么当输入数据是10时，输出的数据是 _____．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，将ABO绕点顺时针旋转到AB₁C₁的位置，点分别落在点处，点在轴上，再将AB₁C₁绕点顺时针旋转到A₁B₁C₂的位置，点在轴上，再将A₁B₁C₂绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去，……，若点则点B₂₀₂₁的坐标为______________．

10 . 如图，在平面直角坐标系中，点在直线y＝x图象上，过点作y轴平行线，交直线y＝﹣x于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交y＝x的图象于点，交y＝﹣x的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形…依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是____________．

1 . 如图，条直线将平面分成两个部分，条直线最多可以将平面分成个部分，条直线最多可以将平面分成个部分，条直线最多可以将平面分成个部分．现有条直线最多可以将平面分成个部分，则的值为______．

2 . 已知AB=AC，AD为∠BAC的角平分线，D、E、F…为∠BAC的角平分线上的若干点．如图1，连接BD、CD，图中有1对全等三角形；如图2，连接BD、CD、BE、CE，图中有3对全等三角形；如图3，连接BD、CD、CE、BF、CF，图中有6对全等三角形；依此规律，第8个图形中有全等三角形（     ）

A．24对

B．28对

C．36对

D．72对

3 . 如图，将一个边长为3的正方形纸片进行分割，部分①的面积是边长为3的正方形纸片的一半，部分②的面积是部分①的一半，部分③的面积是部分②的一半，以此类推，n部分的面积是______．（用含的式子表示）

4 . 阅读理解题：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
观察以上等式，请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：．
(2)计算：=              ．
(3)计算：．

5 . 下列是有规律的一组数．

1	4	7	10	13	16
19	22	25	28	31	34
37	40	43	46	49	52
…	…	…	…	…	…

（1）若按图1的方式在这组数中框出四个数，且这四个数的和为70，则位于左下角的数是 _____．

（2）若按图2的方式在这组数中框出五个数，这五个数的和为215，则位于正中间的数是 _____．

6 . 如图，每张小纸带的长为40cm，用胶水把它们粘贴成一张长纸带，接头粘贴重叠部分的长为3cm．

(1)用2张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度为77cm，则用3张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度为______cm．
(2)①用n张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度是______cm；
②计算用20张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度．

7 . 1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”．
4       7       10       13       16       …
7       12       17       22       27       …
10       17       24       31       38       …
13       22       31       40       49       …
16       27       38       49       60       …
…             …       …       …       …
则“正方形筛子”中位于第10行的第10个数是___________．

8 . 现有一列数，，…，，其中，，，且满足任意相邻三个数的和为相等的常数，则的值为______．

9 . 阅读下列解题过程：
（1）；
（2）；
请回答下列问题：
（1）参照上述解题过程计算：
（2）观察上面解题过程，请直接写出的结果为__________．
（3）利用（2）的结果比较大小：_______．
（4）利用上面所提供的解法，请化简：
．

10 . 如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知：、、、、、、、．求：

(1)、点的坐标；
(2)、点的坐标．

1 . 在庆祝建党“100周年”的活动中，某同学用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样、如图①有11个棋子，图②有16个棋子，按这种规律，则第20个“100”字样的棋子个数是 _____．

2 . 观察：等式①
等式②
等式③
等式④
仿照以上等式写出等式⑤_____；
则_____．

3 . 已知整数，，，，…满足下列条件，，，，，…，（n为正整数），依此类推，则的值为（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：

则第⑦个图案有_________个黑色棋子．

5 . 如下图中表示，寻找其中规律，

图1正三边形中共有个点．
图2正四边形中共有个点．
图3正五边形中共有个点．
图4正六边形中共有_____________个点．
正七边形中共有_____________个点．
依次类推……
图n正n+2边形中共有_____________个点．

6 . 如图，图中的方格均是边长为1的正方形，每一个正方形的顶点都称为格点.图①⑥中，这些多边形的顶点都在格点上，且其内部没有格点，像这样的多边形我们称为“内空格点多边形”

（1）当内空格点多边形边上的格点数为10时，此多边形的面积为______；
（2）设内空格点多边形边上的格点数为L，面积为S，请用等式表示L与S的关系______

7 . 阅读下列材料：
1×2＝ （1×2×3－0×1×2），
2×3＝ （2×3×4－1×2×3），
3×4＝ （3×4×5－2×3×4），
由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ ×3×4×5＝20．
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11（写出过程）；
（2）1×2＋2×3＋3×4＋…＋ n×（ n＋1）＝__________；
（3）1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9＝__________．

8 . 如图，在△ABA₁中，∠B＝20°，AB＝A₁B，在A₁B 上取一点C，延长AA₁到A₂，使得A₁A₂＝A₁C；在A₂C上取一点D，延长A₁A₂到A₃，使得A₂A₃＝A₂D；…，按此做法进行下去，第n个等腰三角形的底角的度数为（　　）

A．	B．
C．	D．

9 . 解决下列题目：
(1)用计算器计算：
_____，_____，_____，_____．
(2)观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？
(3)试运用发现的规律猜想：_____，并通过计算器验证你的猜想．

10 . 观察下列等式：，，将以上三个等式两边分别相加，得．
(1)猜想并写出：______．
(2)已知与互为相反数，试求：的值．
(3)探究并计算：．

1 . 探究规律：观察下面三行数
①－2，4，－8，16，－32，64，…；
②0，6，－6，18，－30，66， …；
③－1，2，－4，8，－16，32，…；
（1）第①行第8个数是     ；第②行第8个数是     ；第③行第8个数是     ．
（2）第①行第n个数是     ；（用字母n表示）；若设第①行第n个数是为a，则第②，③行第n个数分别为是      ，（用含a的式子表示）；
（3）第③行中是否存在连续的三个数的和为－192，若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由．

2 . 观察下列等式：；；，将以上三个等式分别相加得，．
（1）猜想并写出：___________；
（2）直接写出下列各式的计算结果
①＝__________；
②＝_____________；
（3）探究并计算：．

3 . 完成下列填空：
(1)已知，，，……，依据上述规律，则___________=___________．
(2)有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来（排在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形．如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 ___________；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 ___________．

(3)下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：；
第2个数：；
第3个数： ；
……
则第n个数为：___________．

4 . 抛物线与直线的两个交点的横坐标分别是，，记，则代数式的值为_____．

5 . 如图，正方形的边长为4，它的两条对角线交于点，过点作边的垂线，垂足为，的面积为，过点作的垂线，垂足为，△的面积为，过点作的垂线，垂足为，△的面积为，△的面积为，那么__，则__．

6 . 观察下列等式：，，，把这三个等式两边分别相加得：．
（1）猜想并写出：          ．
（2）求下列各式的结果：
①；
②．
（3）探究并计算：．

7 . “皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，a和b中有一个表示多边形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a还是b表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是______，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是____________．

8 . 观察下列一组图形，其中图形（1）中共有2颗星，图形（2）中共有6颗星，图形（3）中共有11颗星，图形（4）中共有17颗星，…，按此规律，图形（20）中的星星颗数是（       ）

A．210

B．236

C．249

D．251

9 . 观察表一，寻找规律，表二和表三分别是从表一中选取的一部分，则的值是（       ）
表一

2	3	4	5	6	…
3	5	7	9	11	…
4	7	10	13	16	…
5	9	13	17	21	…
6	11	16	21	26	…
…	…	…	…	…	…

表二

25

37

表三

2021
2031

A．1999

B．2214

C．2495

D．2500

10 . 图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，每个三角形都以点O为一顶点．

（1）求的度数；
（2）已知（n为正整数）是第一个小于的角，求n的值．

1 . 已知a、b互为相反数，非零数b的任何次幂都等于它本身．
（1）求a、b；
（2）求a²⁰¹⁶+a²⁰¹⁷的值；
（3）求的值．

2 . 杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：

按照前面的规律，则（a+b）⁵=______．

3 . 小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：那么，当输入数据为10时，输出的数据为_____．

输入	…	1	2	3	4	5	…
输出	…						…

4 . 用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个．则第n个图案中正三角形的个数为（          ） (用含n的代数式表示)．

A．2n＋1

B．3n＋2

C．4n＋2

D．4n－2

5 . 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．点M₁、N₁、P₁分别在AC、BC、AB上，且四边形M₁CN₁P₁是正方形，点M₂、N₂、P₂分别在P₁N₁、BN₁、BP₁上，且四边形M₂N₁N₂P₂是正方形，…，点M_n、N_n、P_n分别在P_n－1N_n－1、BN_n－1、BP_n－1上，且四边形M_nN_n－1N_nP_n是正方形，则BN₂₀₁₉的长度是____．

6 . 从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：

加数的个数n	S
1	2=1×2
2	2＋4=6=2×3
3	2＋4＋6=12=3×4
4	2＋4＋6＋8=20=4×5
5	2＋4＋6＋8＋10=30=5×6

（1）若n=8时，则S的值为_____________．
（2）根据表中的规律猜想：用n的式子表示S的公式为：S=2+4+6+8+…+2n=__________________．

（3）根据上题的规律计算2+4+6+8+10+…+98+100的值．

7 . 如图，OP=1，过P作PP₁⊥OP，得OP₁=；再过P₁作P₁P₂⊥OP₁且P₁P₂=1，得OP₂=；又过P₂作P₂P₃⊥OP₂且P₂P₃=1，得OP₃=2；…依此法继续作下去，得OP₂₀₂₁=____．

8 . 观察下列各式：（1），（2），（3），…
(1)请用你发现的规律写出第8个式子是_____;
(2)请用含n的式子表示你发现的规律__________．

9 . 在某学校庆祝建党“100周年”的活动上，围棋社团的同学用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样，按照这种规律第2021个“100”字样的棋子个数是________________．

10 . 观察下列各等式：
①，   
②，   
③，
………
通过观察、归纳，用含正整数的等式表示这种规律为______．

1 . 如图，正方形ABCD的边长为4，它的两条对角线交于点O，过点O作边BC的垂线，垂足为M₁，OBM₁的面积为S₁，过点M₁作OC的垂线，垂足为M₂，OM₁M₂的面积为S₂，过点M₂作BC的垂线，垂足为M₃，M₁M₂M₃的面积为S₃，…M_n﹣2M_n﹣1M_n的面积为S_n，那么S₃＝_____________，则S₁+S₂+S₃+…+S_n＝_____________．

2 . 观察下列等式：
①；   ②；   ③；   ④；
(1)写出第个等式(是正整数)：                               ；
(2)说明你所写的等式的正确性．

3 . 高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程
解：设，①
则，②
①+②，得．
（两式左右两端分别相加，左端等于，右端等于100个101的和）
∴，③
∴．
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．
（1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：；
（2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想________（用含的代数式表示）；
（3）计算：．

4 . 观察下列三行数，并完成后面的问题：
①﹣2，4，﹣8，16，…；
②1，﹣2，4，﹣8，…；
③0，﹣3，3，﹣9，…；
（1）思考第①行数的规律，写出第n个数字是　     　；
（2）第③行数和第②行数有什么关系？
（3）设x、y、z分别表示第①②③行数的第2017个数字，求x+y+z的值．

5 . 观察下列等式：
，
，
，
……
请你根据以上规律，写出第n个等式的右边：______________．

6 . 请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：，，…
所以：＝　               　
计算：．

7 . 从2开始的连续偶数相加，它们和的情况如下表:

加数的个数(n)	和(S)
1	2=1×2
2	2+4=6=2×3
3	2+4+6=12=3×4
4	2+4+6+8=20=4×5
5	2+4+6+8+10=30=5×6
…	…

(1)请猜想：________；
(2)请猜想：__________；
(3)计算：．

8 . 如图，将一个正方形第1次向右平移一下，平移的距离等于对角线长的一半，即其中一个正方形的顶点与另一个正方形的中心重合，并把重叠部分涂上颜色；第2次向右连续平移两次，每次平移的距离与第一次平移的距离相同，并且每平移一次把重叠部分涂上颜色；…．则第n次平移后所得到的图案中正方形的个数是________．

       

9 . 观察下列算式：
①1×3-2²=3-4=-1；
②2×4-3²=8-9=-1；
③3×5-4²=15-16=-1；
…
（1）请按照以上规律写出第10个等式．
（2）请按照以上规律写出第n个等式．
（3）（2）中的式子一定成立吗？若不一定成立，请举出反例；若一定成立，请说出理由．

10 . 求1+2+2²+2³+…+2²⁰¹²的值，可令S=1+2+2²+2³+…+2²⁰¹²，则2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³，因此2S-S=2²⁰¹³-1．仿照以上推理，计算出1+5+5²+5³+…+5²⁰¹⁹的值为______

1 . 如图①，已知小正方形的面积为，把它的各边延长一倍得到新正方形；把正方形边长按原法延长一倍得到正方形（如图②）…以此下去，则正方形的面积为________．

2 . 数学探究：
[问题提出]
如果从1，2，3，…，，这个连续的自然数中选择个连续的自然数（），有多少种不同的选择方法？
[问题探究]
为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入于，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：
如果从1，2，3，…，，这个连续的自然数中选择2个连续的自然数，会有多少种不同的选择方法？
当，时，显然有1，2；2，3这2种不同的选择方法；
当，时，有1，2；2，3；3，4这3种不同的选择方法；
当，时，有________种不同的选择方法；
……
由上可知：从个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有________种不同的选择方法．
探究二：
如果从1，2，3，…，100，这100个连续的自然数中选择3个，4个，…，个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？
我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空：

1

2

3

…

93

94

95

96

97

98

99

100

从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有________种不同的选择方法；
从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有________种不同的选择方法；
由上可知：如果从1，2，3，…，100，这100个连续的自然数中选择个连续的自然数，有________种不同的选择方法．
[问题解决]
如果从1，2，3，…，，这个连续的自然数中选择个连续的自然数（），有________种不同的选择方法
[实际应用]
我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题．
（1）今年国庆八天长假之前，小明想参加本市某地两日游，在出行日期上，共有________种不同的选择．
（2）周末，小明、小丽和小华三个好朋友去电影院观看电影，售票员阿姨为他们提供了第七排2号到16号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则一共有________种不同的选择方法．
[拓展延伸]
如图，将一个的图案放置在的方格纸中，使它恰好盖住其中的九个小正方形，共有________种不同的放置方法．

3 . 观察给定的分式：，，，，，猜想并探索规律，第n个分式是_____．

4 . 如图所示的数表是由从 1 开始的连续自然数组成的.观察数表特征，第 n 行最中间的数可以表示 为_____．（用含 n 的代数式表示）

5 . 是一张等腰直角三角形纸板，，，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为（如图①）；在余下的和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为（如图②）；继续操作下去……则第2021次剪取时，________．

6 . 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C，延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按这样的规律进行下去，第2019个正方形的面积为（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 观察下面三行数：
－2，4，－8，16，－32，64，…；①
-1，5，-9，13，-17，21，…；②
－1，4，－9，16，－25，36，…．③
（1）第①行第十个数是_______；
（2）第②行第十个数是________；
（3）取每行数的第十个数，计算这三个数的和是_________．

8 . 计算 =___________．

9 . 如图，一张纸的厚度为0.06mm，连续对折14次，这时它的厚度最接近于(            ).

A．数学课本的厚度	B．书桌的高度
C．郎平的身高	D．一层楼的高度

10 . 如图，ABC的面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA，至点A₁，B₁，C₁，使A₁B=AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，顺次连接A₁，B₁，C₁，得到A₁B₁C₁．第二次操作：分别延长A₁B₁，B₁C₁，C₁A₁至点A₂，B₂，C₂，使A₂B₁=A₁B₁，B₂C₁=2B₁C₁，C₂A₁=2C₁A₁，顺次连接A₂，B₂，C₂，得到A₂B₂C₂，按此规律，要是得到的三角形的面积为38416，需要经过_______次操作．

1 . 观察下列图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第8个图形共有_______枚五角星

2 . 观察单项式-x,2x²,-3x³,4x⁴,…,-19x¹⁹,20x²⁰,…则第2007个单项式为________

3 . 在平面直角坐标系xOy中，…斜边都在坐标轴上，，若点的坐标（3，0），…则依此规律的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

4 . 大于1的正整数的三次方都可以分解为若干个连续奇数的和．如2³=3+5，3³=7+9+11，4³=13+15+17+19．按此规律，若m³分解后，最后一个奇数为109，则m的值为______．