瓜豆原理 - 初中数学 - 困难

1 . 在平面直角坐标系中，对于点、和图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，得到图形．若点在图形上，则称点为图形关于点的“位移点”．
如图，点、．

(1)若半径为1，
①在、、中，关于点的“位移点”是______；
②若在线段上存在一点，使得点为关于点的“位移点”，直接写出的长的取值范围；
(2)已知点，半径为1，点在上，点为线段关于点的“位移点”．点，半径为，点在上．若存在点D，P，使为以点为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出的取值范围．

2 . 如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为_____．

3 . 在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为________．

4 . 如图，在等腰三角形中，，点E在直线上，点D是平面内一点，连接.

(1)如图1，若，点E在线段上，，连接，将绕点A逆时针旋转至，连接，点D为中点，连接，求出此时的面积；
(2)如图2，若，点D在外部，点E，点F分别是，的中点，连接，将绕点F顺时针旋转至，连接，，，试猜想线段和的数量关系，并证明；
(3)如图3，若，若点D是平面内一动点，连接，将沿翻折得，当B，D，Q三点共线时，在线段上取一点N，使，点E是直线上的动点，将绕点E顺时针旋转至，连接，当取最小值时，直接写出的值．

5 . 如图，在中，，，D为线段上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线于点E，连接．

(1)如图1，若，，求线段的长．
(2)如图2，若，过点B作，交射线于点F，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
(3)如图3，若，，过点A作的垂线，垂足为点M，当取得最小值时，直线上方有一点Q，使得，当取得最小值时，直接写出的值．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，是边长为4的等边三角形，已知点，，点P是线段上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．在点P从点C运动到点D的过程中，线段扫过的面积为__________．

7 . 如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（     ）

A．

B．

C．

D．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　)

      

A．

B．

C．

D．

9 . 正方形的边长为1， E为边上动点，将绕点E顺时针旋转得到线段，M为的中点，连接，则的最小值为________

10 . 如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是___________．

1 . 如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是___．

2 . 如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____．

3 . 问题提出

(1)如图①，在中，，，求面积的最大值______．
问题探究
(2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值；
问题解决
(3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值．

4 . 已知：在菱形中，，点E为直线上的一点，连接．

(1)如图1，，若，求的长；
(2)如图2，与对角线交于点F，，求证：；
(3)如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当取最小值时，直接写出的值．

5 . 在中，，，为的中点，为上一点．

(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，若为外部一点，为的中点，将绕点按顺时针方向旋转到（，均在直线的左侧），连接、．若，求证：；
(3)将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，请直接写出的值．

6 . 如图，已知，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若且，连接AB，BC，则线段BC的最小值为______．

7 . 在中，D为直线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接与相交于点F．

(1)如图1，若D为的中点，，，，连接，求线段的长；
(2)如图2，G是线段延长线上一点，D在线段上，连接，，若，，，，证明；
(3)如图3，若为等边三角形，，点M为线段上一点，且，点P是直线上的动点，连接，，，请直接写出当最小时的面积．

8 . 【问题探究】
（1）如图 1，在 中， 为 的中点，连接 ，则 与 的位置关系是_____．

       （2）如图 2，在 中， ， ， 是线段 上一动点(不与 、 重合)，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，点 和点 分别是边 的中点． 试探究 和 的数量关系，并说明理由．

【问题解决】
（3）如图 3，正方形 是一块蔬菜种植基地，边长为 3 千米，对角线 为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路 上确定一点 (不与点 重合)，连接 ，以线段 为斜边，在 右侧建等腰直角 区域( )，用来种植新品有机蔬菜，并在 处设立蔬菜仓库． 点和 点为基地的两个蔬菜打包装运点， 在 上且 ． 现要沿 修建蔬菜运输轨道，请确定运输轨道 的最小值． 并求出当 最小时，有机蔬菜种植区域的面积 (即 的面积)．

       

9 . （1）如图①，在矩形中，，，以为圆心，为半径在矩形内画弧，已知点是该弧上的一动点，点是边上的动点，则的最小值为______．
（2）随着社会发展，人们生活品质日益提升，年轻人对高品质生活的追求愈发强烈．“荒野求生”、“生存大挑战”等栏目在网络上火爆，野外探险成为当下很多人想寻求刺激、提升生活品质的热门选择，图②是一片探险区域，其中四边形是探险途中的必经区域，米，米，，，且，点是探险入口，边界上点是探险出口，其中，点方圆米的圆形区域是危险禁区，严禁探险者进入为了保证探险者的安全，在危险区域边界上设有一个可移动监测点，一旦探险者靠近并跨入危险区，便会触发警报，一支探险小队计划进入此区域探险，为确保队员统一行动、节省体力并高效前行，领队需提前确定两个集结点和点，其中点在探险区域内，且满足，，点在边界上，探险路线是，请帮助领队计算的最小值．

10 . 如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是_____．

1 . 如图，，，，，点D为的中点，点E为斜边 上一个动点，将沿折叠得到，连接，，下列结论错误的是（     ）

A．若点与点C不重合时，的面积最大值为4.5

B．若点不在斜边上时，的周长最小值为

C．若时，的长为

D．若时，的长为

2 . 在等边三角形中，点D为上一点，连接，将绕D逆时针旋转角度得到，连接，已知，；

(1)如图1，若，，连接，求的长；
(2)如图2，若，分别取的中点H，的中点F，连接，，求证：；
(3)如图3，若，P为上一点，且满足，连接，将沿着所在直线翻折得到，连接，当最大时，直接写出的面积．

3 . 如图，在中，，为直线上一点，点为直线上一点，在线段上．

   

(1)如图1，，，平分，求的长度；
(2)如图2，，以为边向上作一个等边三角形，连接，，点为的中点，连接，求证：；
(3)如图3，，，点在直线上运动的过程中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当取最小值时，连接，，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积．

4 . 在等边中，，垂足为D，点E是线段上一点，连接，将绕点C顺时针旋转到，连接交于点G．

(1)如图1，若的延长线恰好过点B，且，求的长度；
(2)如图2，在上取一点H，使，在的延长线上取一点K，连接，且满足，求证：；
(3)如图3，，点M为平面内任意一点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，点T是线段中点，将线段绕点T逆时针旋转到，点P为线段中点，连接，直线与直线交于点Q，当取最大值时，请直接写出此时的面积．

5 . 如图，矩形中，，，与相交于为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，则线段的最小值为（     ）

A．

B．

C．

D．

6 . 在等腰中，，，点为边上一点，连接；

(1)如图1，若平分，过点作的平行线交于点，求；
(2)如图2，为左侧一点，连接交于，连接，满足且，点为上一点，满足，过点作交于，求证：；
(3)如图3，将沿着直线翻折到处，连接，，以为斜边构等腰（使得、、三点呈逆时针排布），当取得最小值时，求．

7 . 如图，在矩形中，对角线和相交于点，边的长为4，边的长为，在平面内绕点旋转，且始终保持，．

(1)如图1，当点与点重合时，线段与线段的数量关系是_____，线段与线段的位置关系是_____．
(2)如图2，我们发现在绕点旋转的程中始终保持，当点旋转至线段的中点时，求线段的长．
(3)如图3，若点的运动轨迹为直线，连接，请直接写出线段的最小值和此时的面积．

8 . 如图，在中，．

(1)如图，若，点在边上（不与，点重合）．连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求的度数；
(2)如图，若，点，分别在，上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接．请用等式表示线段，，的数量关系并证明；
(3)如图，若，点在上，且，点在直线上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接，．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到，连接，当取最大值时，请直接写出的值．

9 . 如图，正方形，E是对角线上的一点，以为边作正方形，阴影部分面积为5，若，，则下列值不变的是（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，点F沿线段AO从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，连接OE．现给出以下结论：
①；②；③直线；④点E运动的路程是．
其中正确的结论是______．（写出所有正确结论的序号）

1 . 【特例感知】
（1）如图1，和是等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，连接，，线段与的数量关系是___________；
【类比迁移】
（2）如图，将图中的绕着点顺时针旋转，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．
【方法运用】
（3）如图，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最大值是___________．

2 . 如图，矩形中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转至，且，连接，则的最小值为______．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，为半径的，交轴于点，点是上的一个动点，作点关于点的对称点，连接．

(1)当点刚好落在轴上时，点的坐标为_________；
(2)点在运动过程中，若线段与反比例函数有交点，求交点横坐标的取值范围；
(3)若由点所组成的图形与直线有且仅有一个交点时，请直接写出的值．

4 . 如图，四边形是边长为5的正方形，点P为线段的上一点，，点E是直线上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转，点A的对应点为点F，连接，则的最小值为____．

5 . 如图所示，点，的半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，求的最小值．

6 . 如图1，已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形点分别在轴和轴的正半轴上，连结，，，是的中点.
(1)求OC的长和点的坐标；
(2)如图2，是线段上的点，，点是线段上的一个动点，经过三点的抛物线交轴的正半轴于点，连结交于点
①将沿所在的直线翻折，若点恰好落在上，求此时的长和点的坐标；
②以线段为边，在所在直线的右上方作等边，当动点从点运动到点时，点也随之运动，请直接写出点运动路径的长.

7 . 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为(     )

A．1

B．

C．

D．2

8 . 如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（　　）

A．

B．

C．1

D．2

9 . 如图所示，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，为的中点，连接，求的最小值．

10 . 如图，在中，，，点是边上一点，过点作直线的垂线，垂足为点．连接．

(1)如图1，当，时，求的度数；
(2)如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点为边上一点，连接，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，已知，点是直线上一点，连接，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，在射线上取点，连接，使得的面积与面积相等，连接，当取得最大值时，延长交直线于点．将沿着所在直线翻折到所在平面内，得到，连接，当取得最小值时，直接写出的值．

1 . 在菱形中，，是对角线上的一点，连接．

（1）当在的中垂线上时，把射线绕点顺时针旋转后交于，连接．如图①，若，求的长．
（2）在（1）的条件下，连接，把绕点顺时针旋转得到如图②，连接，点为的中点，连接，求的最大值．

2 . 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接BD，将△ABD绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为△A′B′D，旋转角为α（0°＜α＜360°且α≠180°）．

(1)在旋转过程中，当A′落在线段BC上时，求A′B的长；
(2)连接A′A、A′B，当∠BA′B'＝90°时，求tan∠A′AD；
(3)在旋转过程中，若△DAA′的重心为G，则CG的最小值＝　 ．

3 . 如图所示，为等腰直角三角形，，直角顶点在第二象限，点在轴上移动，以为斜边向上作等腰直角，我们发现直角顶点点随着点的移动也在一条直线上移动，求这条直线的函数解析式．

4 . 如图所示，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，求点运动的路径长．

5 . 如图1，在中，，，，以点为圆心，为半径作圆．点为上的动点，连接，作，使点落在直线的上方，且满足，连接，．

（1）求的度数，并证明；
（2）如图2，若点在上时，连接，求的长；
（3）点在运动过程中，是否有最大值或最小值？若有，请求出当取得最大值或最小值时，的度数；若没有，请说明理由．

6 . 如图所示，在扇形中，，，点是上的动点，以为边作正方形，当点从点移动至点时，求点经过的路径长．

   

7 . 如图，在中，，是斜边上的中线，，垂足为点F，E是延长线上一点，．
(1)如图，若，求的大小（用含的代数式表示）；

(2)如图，若M是的中点，连接，，用等式表示线段，的数量关系并证明；

(3)如图，若，P是直线上一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转到，当线段取最小值时，请直接写出的值．

8 . 如图，在四边形中，，，，，点E为边（含端点）上的动点．以为边构造等腰直角三角形，且，连接，则线段长的最小值是______，最大值是______．

9 . 在中，，，点D为线段上一动点，连接．

(1)如图1，若，，求线段的长．
(2)如图2，以为边在上方作等边，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G ．若 ，求证∶ ．
(3)在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点M为所在直线上一点，将 沿所在直线翻折至所在平面内得到 ．连接，点P为的中点，连接，当取最大值时，连接，将 沿所在直线翻折至所在平面内得到 ，请直接写出此时的值．